早稲田　算数　対策　２０２０年

１、概要

 

（１）入試結果

 

早稲田中学２０２０年第１回算数は、例年よりも、やや易し目となりました。

 

学校公表の受験者平均点は、60点満点中、34.7点。合格者平均点は45.1点です。

 

（２）出題分野

 

「平面図形」「立体図形」「速さ」「場合の数」「割合」などから出題されています。

 

「平面図形」は、「角度」「面積」「回転移動」「表面積」など、多角的に出題されています。

 

「立体図形」では、早稲田定番の切断問題が出題されています。

 

大問１問あたりの小問数が多く、中には４問のものもあり（大問３、大問５）、前の小問を利用して、後の小問を解くように、誘導しています。

 

この誘導を読み取れるかどうかは、重要です。

 

（３）難易度

 

２０２０年度は、やや易し目です。

 

大問３（４）と大問５（３）が難しく、大問１（３）と大問４（３）は計算に手間がかかります。

 

この４問以外が満点であれば、ほぼ合格者平均点となります。

 

「出題分野＆難易度マップ」を掲載致します。（難易度はレッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

 

それでは、順に見ていきましょう。

 

２、各論（大問１～５）

 

大問１

 

（１）約分

 

分数2525/3232を約分する問題です。

 

分子の2525が5で割り切れることは明白ですから、素因数分解していけば、いずれ分母との公約数が見つかります。

 

でも、これを一瞬で約分する方法があります。

 

 

一般に、ABAB＝AB×101です。

 

たとえば、

 

2525=25×100+25×1=25×(100+1)=25×101

 

3232=32×100＋32×1=32×(100+1)=32×101

 

これを使うと、

 

ABAB/CDCD＝AB/CD

 

2525/3232=25/32……答え

 

ところで、レッツ算数教室は、ここで終わりません。同じ要領で、

 

ABCABC=ABC×1001

 

DEFDEF=DEF×1001

 

よって、

 

ABCABC/DEFDEF=ABC/DEF

 

さらに、1001=7×11×13より、

 

ABCABCのパターンの整数は、７の倍数で、１１の倍数で、１３の倍数です。

 

試してみると、

 

154154÷7=22022

 

154154÷11=14014

 

154154÷13=11858

 

大問１

 

（２）「ニュートン算」

 

典型的なニュートン算そのままです。早稲田の受験生に、説明はいらないでしょう。

 

「なぜニュートン算というのか？」については、当ホームページ内

 

「ニュートン算の話」（タップ・クリックできます）

 

で説明しています。

 

（３）「割合・食塩水」

 

これも、典型的な食塩水のやりとり算です。

 

論理的には簡単ですが、％が分数になり、計算に手間取ります。（計算していて、自信がなくなっていきます）

 

そして、計算に夢中になっているうちに、問題文を忘れるかもしれません。

 

すると、通常の食塩水やりとり算と同じく、Bの食塩水の「濃さ」を答えてしまいます。

 

ところが、本問は、Bの食塩水に含まれる「食塩の量は何gか？」を答える問題です。

 

早稲田中・大問１（３）は、要注意です。

 

大問２

 

（１）「平面図形・角度」

 

円の中心から、三角形の各頂点に補助線を引くと、二等辺三角形とおうぎ形がたくさんできます。

 

中心角はすぐわかります。

 

これで、解けます。

 

（２）「平面図形・回転」

 

対角線ACの移動先を書き込めば、すぐ解けます。

 

（３）「立体図形・回転」

 

定番問題そのままです。

 

大問２は、３問とも一瞬で解けなければなりません。

 

大問３「場合の数」

 

（１）～（３）は、３秒、４秒、５秒と、連続しています。

 

階段を上っていくようです。

 

そこで、フィボナッチを思い出します。

 

本問は、フィボナッチ数列ではありませんが、「前を利用して、次を計算する」という意味では、よく似ています。

 

碁盤（ごばん）の目の道順を求めるときの要領で、計算できます。

 

（４）が難しいです。

 

「Aからスタートして、３秒後にB」と「Bからスタートして、その３秒後にA」は、同じことです。

 

ここに気づけば、「Aからスタートして３秒後にBで、６秒後にA」とは、７×７＝４９通りであることがわかります。

 

さらに、「６秒後にAで、その３秒後すなわちスタートから９秒後にA」とは、「スタートから３秒後にA」と同じこと。

 

よって、４９×６＝２９４通り…答え

 

本問は、三角すいのとなりの頂点に移動する方法は、AからBもBからAも対等であるという「対称性」を利用した問題です。

 

「３秒後」「６秒後」と、３の倍数が並んでいるところに、着目すると、ひらめくでしょう。

 

大問４「速さと比」

 

（１）（２）はサービス問題。（３）も理論は簡単ですが、計算ミスしやすいかもしれません。

 

円周率22/7にも要注意です。

 

大問５「立体切断」

 

（１）（２）は、２つの斜めの切り口どうしが交わる問題の、典型例です。

 

準備していた受験生は多かったはずです。

 

それでも、定番問題としては、最も難しい部類です。

 

（３）は、８つの点を同時に切り落とす問題。

 

本当に、８つの切り口面を、図に書き込んだら、わけがわからなくなります。

 

そこで、（１）（２）をヒントに、頂点を切り落とすと、結果として何が残るかを、別の表現で理解します。

 

「おきかえて考える」

 

というテクニックです。

 

頂点を切り落とすと、面ができます。

 

となり合う頂点を切り落とすと、辺ができます。

 

頂点は８個なので、残った物体の面の数は８個。

 

となり合う頂点（つまり、立方体の辺）の数は１２なので、残った物体の辺の数は１２本。

 

よって、残った物体は、正８面体と想像できます。

 

合格者平均点から推定すると、小問４問までは、捨てても大丈夫です。

 

従って、「傾向」で指摘した、大問１（３）、大問３（４）、大問４（３）、大問５（３）は、できなくても合格できるでしょう。

 

ということは、それ以外の定番問題をしっかり得点することが、合格への道です。

 

定番問題に関しては、最も難しいレベルの問題まで、しっかり理解しておきましょう。

 

以上は、第１回合格のための勉強です。

 

さて、第２回合格のために、第１回の過去問も勉強している人向けに、もう一言、二言。

 

第２回の合格には、大問３（４）や、大問５（３）も必要かもしれません。

 

特に、２月１日に他の超難関校を受験する人の場合、大問３（４）や、大問５（３）レベルの問題は、１日の合否を分ける可能性があります。少なくとも、

 

「難問だから、捨ててもいい。パス」

 

というわけにはいきません。

 

これらの難問では、

 

「問題文の表現（条件）を、問題を解きやすい「別の表現」に言い換える、おきかえる。」

 

という技術が求められます。

 

そのための練習に、これらの問題は、最高の教材です。

 

さらに、もう１点。

 

大問５では、「切り落とす」の前に必ず「同時に」という一言が、枕詞（まくらことば）のようについています。

 

なぜ「同時」でなければならないのでしょう。

 

「順次」ではいけないのでしょうか？

 

どのような順番に切ろうと、８つの切断面は同じなのだから、結果は同じはず……

 

ここで、問題文の冒頭を読み直してみましょう。

 

出題者は、たとえば「頂点Bを切り落とす」とは、３点A、C、Fを通る平面で立方体を切断し……と定義しています。

 

もし、頂点Bを切り落とそうとしたとき、頂点Aがすでに切り落とされていたら、頂点Bを切り落とすことが、「定義上」できなくなります。

 

「そんなの屁理屈（へりくつ）。常識から考えれば、意味は明らかでしょう」

 

と思うかもしれませんが、数学のレベルが上がると、屁理屈ではありません。

 

つまり、「同時に」の一言を入れないと、超厳密には出題ミスになってしまいます。

 

それを防ぐための一言なのです。

 

ふだん、何気なく読んでいる問題文ですが、実は、出題者は超厳密に言葉を選んで、問題文を作成していることを、実感してください。

 

そして、近年流行の「算数長文読解問題」では、このような条件の厳密な読み取りが、重要性を増しています。

 

「何気ない一言」に対しても、注意が行き届くように、トレーニングしておきましょう。