桜蔭　算数　対策　２０２２年

（１）出題分野

 

本年度は、「平面図形」「規則性」「速さ・時計算」「速さ・流水算」「論理パズル」から出題されています。

 

「速さ」が大問２問分を占め、配点的に重視されています。

 

また、問題文の微妙な言い回しについて、正確に把握する力が試されています。（大問１（３）、大問２（２）、大問４（２））

 

詳細は、「各論」の解説の中で、ご説明します。

 

（２）難易度

 

大問１～３は、基本的な問題で、あとはミスしないだけの競争です。

 

大問４「論理パズル」は難問です。問題文が何を言っているのか、題意の把握だけでも、かなり難しいと思われます。

 

題意が把握できても、そこには「図形パズル」「場合分け」「不定形のつるかめ算」「計算力」などの要素が混在しています。

 

これは、従来の出題分野・分類表では分類が難しい、最新傾向問題です。

 

出題分野＆難易度マップを掲載致します。（難易度は、レッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

 

それでは、順に見ていきましょう。

大問１（１）「計算問題」

 

ウオーミングアップ問題です。

 

0.375=3/8は、必須知識です。

大問１（２）「平面図形」

 

①

 

30度回転です。

8×2×3.14×30/360=4と14/75（答）

 

②

 

正六角形ARBPCQが1回転するのと同じことです。

 

4×6=24（答）

大問１（３）「規則性・数列」

 

①

• 1つ目➡2
• 2つ目➡エ
• 3つ目➡2+エ
• 4つ目➡2+エ×2=24

よって、エ=(24-2)÷2=11（答）

 

②

 

同じ要領です。

 

フィボナッチ数列です。

 

オ×8+カ×13=160

 

（オ、カ）=（20、0）（7、8）

 

不定形のつるかめ算なので、組み合わせが複数あります。

 

ここで、「2つ目は1つ目より大きい整数」という条件から、オ=7、カ=8（答）

大問２「速さ・時計算」

 

（１）

 

360÷(6-0.5)=720/11=65と5/11

 

よって、1時5と5/11分（答）

 

（２）

 

11時台以外は、1時間に1回重なります。

 

（11時台は、重なったと思った瞬間に、12時台になります）

 

よって、0時から24時直前までに、24-2=22回重なります。

 

ただし、本問では、「0時を過ぎてから」なので、さらに1引いて21回（答）

 

「過ぎてから」「なる前」という言い回しに注意しましょう。

大問３「速さ・流水算」

 

（１）

 

静水時の速さが川の速さの4倍ということは、上り3、静水時4、下り5になります。

 

25-5=20分で5000m下ったので、下りの速さは

 

5000÷20=250m/分

 

これが5にあたります。よって、静水時の速さは

 

250÷5×4=200m/分（答）

 

（２）

 

上りの速さは、250÷5×3=150m/分

 

出会い算に持ち込むためには、移動時間が等しくなければなりません。

 

よって、PがBでとまっていた5分の間に、Qが進んだ距離を、除いておきます。

 

5000-150×5=4250

 

4250÷(150+250)=85/8

 

250×85/8=2656と1/4m（答）

 

（３）

 

「Pはちょうど出発するところ」とあります。

 

出会い算に持ち込むためには、移動時間が等しくなければなりません。

 

よって、PがBではなく、Cで、さらに5分とまっていたことにします。

 

これにより、「PQは、同時に、Bに着きました」という問題に、改造できます。

 

5000÷150+5+5=130/3分後……QがAを出発

 

20+5+5+5=35分後……PがCを出発したと仮定

 

150×(130/3-35)=1250

 

5000-1250=3750……QがAを出発した時の、PQの距離

 

これを150:250=3:5に比例配分すると

 

3750÷(3+5)×5=2343.75m（答）

大問４「論理パズル」

 

（１）①　　　　　　②

（２）①

 

問題文に「（１）と同じように」とあるため、円を正方形的に並べることをイメージすると、間違えます。

 

円は接していればよく、正三角形的に並べる方が、より、接する数が多くなります。

 

4個ならば、ひし形的に並べます。

 

このとき、10個の円柱、または円すいを積みます。

 

円柱1個の体積は3×3×3.14×3=84.78㎤

 

円すい1個の体積は3×3×3.14×3×1/3=28.26㎤

 

円柱が9個以上だと、750㎤を越えるので、円柱8個、円すい2個、体積734.76㎤（答）

 

（２）②

 

円すいは最大4個しか積めません。

 

よって、円すいの個数は4個です。

 

この時、円柱が最大6個。

 

合わせて、体積は621.72㎤（最大）

 

さて、最小の場合、円柱は最低何個必要でしょうか？

 

350-28.26×4=236.96

 

236.96÷84.78=2あまり67.4

 

よって、円柱は最低3個必要です。

 

ところで、円柱と円すいの個数合計が奇数個になることは、あり得ません。

 

なぜならば、ある円と他の円が接すると、ある円にとって1回、他の円にとっても1回、接したことになり、合計2回とカウントされるからです。

 

よって、円すいが4個なら、円柱は、最低4個、合計8個です。

 

そのような底面は、円を正方形的、すなわち田んぼの「田」の字に並べた時に達成できます。

 

並べ方は他にもありますが、とりあえず1種類見つかれば、OKです。

 

よって、円すい4個、円柱4個で、体積は452.16㎤（最小）

・例年通り、計算が大変です。

 

特に、大問３、大問４は、小数、分数の山で、正解しても自信が持てないかもしれません。

 

分数は、仮分数のまま計算して、最後に帯分数化するなど、工夫しましょう。

 

また、大問４（２）では、350と750の方を3.14で割り、円柱、円すいの体積は3.14倍を省略する、という手法も考えられます。

 

かけたり、足したりするのは、円柱、円すいの体積ですから、この方が効率的です。

 

本問では、効率化の効果はイマイチですが、今後に向けて、一つのアイデアです。

 

 

・「各論」の解説中で指摘した、「条件を表す微妙な言い回し」については、十分に確認しておきましょう。

 

今後も、同様な言い回しの出題可能性

があります。

 

 

・大問４は、ほとんど見たことがない問題のようでもあり、どこかで見たことがある問題のようでもあります。

 

どうすれば、このような問題に対処できるのでしょうか？

 

たとえば、次のような問題を見たことがあるかと思います。

 

「面積が一定の時、周囲の長さが最小の図形は円。最小の長方形は正方形」

 

「体積が一定の時、表面積が最小の図形は球。最小の直方体は立方体」

 

などです。

 

なるべく１つにギュッとまとまっている方が、外側が小さくなる➡内側で接している部分が増える

 

細長く伸びれば伸びるほど、外側が大きくなる➡内側で接している部分が減る

 

という連想が働くと、解法の糸口が見つかるでしょう。

 

 

算数では、単に解法を理解するだけでは不十分です。

 

解法の背後にある作戦、発想法まで、おさえておきましょう。

 

レッツ算数教室では、この「背後の作戦」「算数の発想法」を重視した授業を行っています。

 

算数の発想法については、当ホームページ内「算数の成績を上げるには？」の中で、更にくわしく、ご説明しています。