聖光　算数　対策　２０１９年

聖光学院の算数・２０１９年（第１回）は、やや難化しました。

 

各大問に、１問ないし２問、かなりの難問が含まれており、全問に目配りしながら、上手に時間配分できたかどうかが、ポイントです。

 

順に見ていきましょう。

 

大問１

 

（１）計算

 

2.93×21.7。小数点をはずすと、293×217。

 

何と美しい計算問題！下２ケタを足すと１１０。百の位は、２で共通。

 

「計算の工夫？」「インド式？」「ユダヤ式？」

 

いえいえ。考え込んでいる間に、どんどん計算しましょう。すぐ終わります。

 

（２）速さと比

 

「進んだ距離の比は４：５」という条件から、あ：う＝６：５が求められます。

 

これを使って問題文の条件をそのまま式に表せば、少々方程式っぽいですが、簡単に解けます。

 

やはり、聖光を受験する以上、この程度の方程式はあやつれる方が、有利です。

 

（３）数の性質

 

ボタンＸを５回押すと、ちょうど何周かするので、ＡとＢの距離が、１周の５分の１、２、３、４と場合分けします。（５倍すると整数になる、１より小さい数だから）

 

大問２　場合の数

 

（１）「整数５」なので、５個の玉を１列に書いておき、仕切り線でグループ分けします。たとえば、５＝１＋１＋１＋１＋１は、すべての玉と玉の間に仕切り線を入れて、表します。

 

仕切り線の入れ方は、２×２×２×２＝１６通り。ただし、どこにも仕切り線を入れないと、５＝５で、「２つ以上の０でない整数の和」にならないので、１６－１＝１５通り。

 

（２）１から順に、分解の積になりうるか、調べていきます。

 

「最大、いくつまで調べればよいか？」というと、２×３×３＝１８までです。

 

４×４＝１６が最大と考えてしまうと、１個見落とします。ここが、盲点。難問です。

 

（３）２０まで１つずつ調べればよいのですが、調べているうちに、「素数はダメ」ということに気がつくと、すぐ解けます。

 

大問３　点の移動・平面図形と比

 

（１）（２）は、「0.5秒後、1秒後」を書いてみれば、すぐわかります。

 

（３）（４）は正六角形の外側に、正六角形の６分の１の正三角形をつけ足せば、すぐわかります。

 

普通の学校であれば難問といえるでしょうが、聖光の受験生（特に、合格者）の正答率は、かなり高かったと推測します。

 

大問４　立体切断・体積・展開図

 

（１）練習。

 

（２）展開図

 

本問が、今回、最も難しい問題でした。

 

線分の長さがルートになるとき、この線分を、展開図上で、直角三角形の斜辺として表現するテクニックを身につけましょう。

 

（３）体積

 

立体を「四角すい」「断頭三角柱」に分解して、それぞれの体積を求めます。

 

大問５　仕事算

 

（１）は、計算あるのみ。少々手間がかかります。

 

（２）は、合計金額を最小にする問題です。

 

Ａさん、Ｂさん、Ｃさんが、それぞれ仕事Ｐ、Ｑ、Ｒをいくらで完成するかを計算し、それぞれの仕事を、最も安い人に発注します。

 

（３）は、時間を２時間以内にする問題です。

 

時間制限が結構きついので、それぞれの仕事を、最も速くこなせる人に頼もう、というのが、基本的な発想になります。

 

ところが、そうすると、仕事ＰはＣさんにすべて任せ、仕事ＲはＡさんにすべて任せることになり、結果、仕事Ｑが時間内に終わりません。

 

この不都合の原因がどこにあるかというと、Ａさんが、仕事Ｑを処理する速度が最悪、という点にあります。

 

そこで、Ａさんのかわりに、仕事Ｑが得意なＣさんに、仕事Ｑを手伝ってもらうため、Ｃさんの仕事Ｐの一部をＡさんに手伝ってもらい、Ｃさんの時間をひねり出す、という修正案を作ります。

算数は１５０点満点です。

 

学校公表の受験者平均点は、85.3点。合格者平均点は108.6点。

 

受験者平均点と合格者平均点の差は、算数が４教科の中でダントツに開いています。

 

聖光学院合格のカギは、算数にあります。

 

「傾向」でも若干触れましたが、今回の問題で、難問は大問２（２）、大問４（２）（３）、大問５（３）です。

 

正確な配点は不明ですが、これら４問をすべて落としても、それ以外が満点なら、合格者平均点を少し上回ると推定されます。

 

大問４の立体切断に圧倒されることなく、取れる問題を取っていきましょう。道は開けます。

 

では、今回、合否を分けたポイントはどこにあり、どのような対策を立てればよいのでしょうか？

 

大問３です。一般的な基準では難問に属しますが、才能に頼らなくても、ある程度、パターン通りに処理できます。

 

特に、（４）です。Ｙの位置をどうやって求めればよいのでしょう。

 

Ｙは、ＰＱとＢＤの交点です。ということは、ＰとＱの位置情報を使わないと、Ｙの位置を特定したことにならない。すなわち、問題文の条件を使ったことにならない。

 

ところが、ＢＰとＤＱは、向きが違う。従って、ＢＰ：ＤＱの比が、位置情報として、うまく反映されない。

 

この不都合を修正するために、「向きを合わせる」というテクニックを使います。

 

そこから、線分ＡＢを延長する、という「補助線の引き方」が、自動的に決まります。（くわしくは、授業で説明します）

 

補助線というのは、適当に引いても偶然解けてしまうこともあります。

 

でも、ラッキーに頼らず、才能や直観にも頼らず、機械的に解くには、「原則で押して、不都合を修正していく」という発想が必要です。

 

このような発想を身につけることが、対策として有効です。