豊島岡 算数 対策 2020年


傾向(第1回)

豊島岡2020年第1回算数は、例年通りの出題傾向、難易度でした。

 

「出題分野&難易度マップ」を掲載致します。(難易度は、レッツ算数教室の分析によります)

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

   出題分野&難易度マップ
大問1    
(1)   計算の工夫
(2) 文章題
(3) 数の性質
(4) 約束記号
大問2    
(1) 相当算
(2) 場合の数 E
(3) 時計算 C
(4) 平面図形(面積) C
大問3    
(1) 速さと比 D
(2) 速さと比 D
大問4    
(1) 平面図形と比 D
(2) 平面図形と比 D
大問5    
(1) ルール指定問題 B
(2) ルール指定問題 C
(3) ルール指定問題 D
大問6    
(1) 立体切断 C
(2) 立体切断 E
(3) 立体切断 E

 

それでは、順に見ていきましょう。

 

大問1

(1)計算の工夫

豊島岡に強い家庭教師が、裏技を伝授!

 

( )を含む計算の順序は、まず( )の中を計算するのが原則です。

 

そこで、本問も、まず( )の中を計算すると、どうなるでしょうか?

 

想像してみましょう。

 

2つの分数の足し算になりますが、分母がそろわず、通分することになります。

 

通分すると、分母が大きくなり、よって、分子も大きくなります。

 

後に「÷5」を実行する際、帯分数の整数部分3を分子に乗せなければなりませんが、巨大な分子の計算は、負担ですね。

 

そこで、分子が巨大化する前に、÷5によって小さくできないか?というアイデアが出てきます。

 

そこで、分子をチェックすると……

 

(3と3/4)=15/4の分子は5の倍数。

 

÷0.3は×10/3なので、やはり分子は5の倍数。

 

おいしい約分ができるではありませんか。

 

よって、( )をあえてはずし(分配法則)それぞれの分数を先に5で割ります。

 

(3と3/4)÷5=(15/4)÷5=3/4

 

ここで、すごいことに気づきます。

 

最後に0.75を引くのですから、3/4-0.75=0で、何と、ここは計算不要となりました。

 

すなわち、( )内の分数の足し算(通分)は、しなくてよい、ということになります。

 

一石二鳥ですね。渡りに船かな?

 

結局、1/6×10/3÷5=1/9……(答え)

 

たったこれだけの計算量で、答えが出ます。

 

 

よく、円周率を含む計算では、

 

「3.14倍以外の部分を( )でくくって先に計算し、最後に3.14倍しなさい」

 

と言われます。

 

「計算の工夫」の典型例です。

 

そのため

 

「せっかく( )でくくってあるのに、わざわざ( )をはずすなんて、もったいない」

 

と考えがちです。

 

でも、それは「固定観念」。

 

もっと柔軟に考えましょう。

 

本問は、一見するとただの計算問題に見えますが、実は、応用問題なのでした。

 

計算の先々まで見通した作戦が有効です。

 

さすが豊島岡。よく練れた計算問題です。あっぱれ。

 

(2)

400÷6=66あまり4

500÷6=83あまり2

66×83=5478

 

答え、5478枚

 

(3)数の性質

 

分母の202を素因数分解すると2×101

 

よって、分子は2または101の倍数のとき、約分できます。

 

よって、「これ以上約分できない」とは、分子が2の倍数でも101の倍数でもない場合です。

 

2の倍数は、202÷2=101個

 

101の倍数は、202÷101=2個

 

両者が重なっているのは、202の1個

 

101+2ー1=102(約分できる分数の個数)

 

202ー102=100個(これ以上約分できない分数の個数

 

答え、100個

 

(4)約束記号

 

まず、( )全体を求めましょう。

 

( )+13=10/7×(13+1)=20

 

( )=7

 

□+5=7×(5+1)=42

 

□=42-5=37

 

答え、37

 

大問2

(1)相当算

 

A=①

B=②-3

C=③+13

 

3人の合計⑥+10=100

 

①=15

 

答え、15本

 

(2)場合の数

 

本問が、初めて歯ごたえのある問題だったかもしれません。

 

難しい応用問題ではありませんが、ミスしやすいポイントが多々あります。

 

たとえば、2は2回「だけ」です。よって、□には2を入れてはいけません。

 

2ケタ 22 ➡1通り

3ケタ

22□ ➡9通り
  2□2 ➡9通り
  □22 ➡8通り
4ケタ 122□ ➡9通り
  12□2 ➡9通り
  1□22 ➡9通り
 

2002

 
 

2012

 
 

2020

➡3通り
合計   ➡57通り
     

答え、57番目

 

(3)倍数

 

本問を「時計算」とよぶのは、少々違和感があります。

 

なぜならば、「回数」を問われているだけで、「時刻」を求める必要はないからです。

 

6時の時、長針と短針は180度開いており、その後、長針が短針と重なり(0度)、追い越して、7時には150度開きます。

 

180から0まで、8の倍数は180÷8=22あまり4より、22個。

 

0から150まで、8の倍数は150÷8=18あまり6より、18個。

 

よって、22+18=40回

 

答え、40回

 

(4)平面図形(面積)

 

本問は「カルネアデスの三日月」といわれる有名問題です。

 

よって、「答え10㎠」と即答できます。

 

知識の有無で、圧倒的に差がつく問題です。

 

解き方は、小半円と大半円の「面積比」が1:2であることを利用します。

 

「相似比」=AC:AB

 

「面積比」=AC×AC:AB×AB=20㎠:40㎠=1:2

 

よって、三角形ABC+小半円×2ー大半円×1=三角形ABC=10㎠

 

答え、10㎠

 

大問3 速さと比

 

はじめに、AさんとBさんの速さの比を求めておきます。

 

Aさんの速さは、Bさんの平均速度です。

 

Bさん行き:Bさん帰り=2:3

 

よって、平均速度は

 

(2×3+3×2)÷(2+3)=2.4

 

Aさんの速さ:Bさんの速さ(行き)=2.4:2=6:5

 

(1)

Aさんが3km進んだとき、Bさんは2.5km進んでいます。

 

これが3分の1なので、家から学校は7.5km

 

Bさんが学校に着いたとき、Aさんは7.5÷5×6=9km進む。

 

7.5×2ー9=6km

 

答え、6km

 

(2)

 

家から学校までかかった時間の比は、A:B=5:6

 

差の1が10分だから、Bは60分かかった。

 

60分で7.5kmなので、時速7.5km

 

答え、時速7.5km

 

大問4 平面図形と比

(1)

 

三角形ABCをGを中心にして、3つの三角形GAB、GBC、GCAに分割します。

 

3つの三角形の面積比を求めます。

 

GAB:GCA=EB:EC=2:1

 

GCA:GBC=FA:FB=1:1

 

よって、GAB:GBC:GCA=2:1:1

 

AG:GB=ABGC:GBC=3:1

 

答え、3:1

 

(2)

 

三角形GADとGEHは相似で、相似比はAG:GE=3:1

 

よって、AD=3とすると、EH=1、EC=3、BH=5より、BH:HC=5:4

 

また、FG:GC=ABG:CAGB=1:1

 

台形ABCDの面積を12とすると、平行四辺形AECDの面積は6

 

三角形FBCの面積は9÷2=4.5

 

三角形GHCの面積は4.5×(4/9)×(1/2)=1

 

四角形BHGFの面積=4.5ー1=3.5

 

よって、3.5÷6=7/12

 

答え、7/12倍

 

大問5 ルール指定

(1)

 

9÷4=2あまり1

 

答え、

Pは2周して1つ、つまりB。

Qは2つ、つまりC。

 

(2)

 

Qが2周して1つ進む。

 

つまり4×2+1=9

 

PはAを9回通るから、出た目の和は4×9=36

 

よって、36÷6=6

 

答え、6回

 

(3)

 

300÷4=75cm……Qが進んだ距離。

75÷4=18あまり3

 

Qは19周目のDにいる。

 

答え、19回

 

大問6 立体切断

(1)

 

台形AEHNには、置いた立方体の面(正方形)が接しています。

 

この正方形の頂点を、Eから時計回りにEIJKとします。

 

EK:KH=JK:KH=2:1

 

EK=10÷(2+1)×2=20/3

 

答え、20/3cm

 

(2)

 

断面図AEGCを考えます。

 

CからEに直線を引くと、この直線は、置いた立方体の頂点を通ります。

 

この頂点は、面LMGと接しています。

 

この頂点をOとすると、三角形の相似比より、CO:OE=1:4

 

よって、立方体の1辺の長さは、10÷5×4=8cm

 

答え、8cm

 

(3)

 

本問も、(2)とほぼ同じ要領です。共通点は

 

平面化して考えること

 

算数の発想法で言うと、「次元を下げて考える」ということになります。

 

算数の発想法についてじは、当ホームページ内

 

「算数の成績を上げるには?」(タップ、クリックできます)

 

で、さらにくわしく説明しています。

対策(第1回)

 平面図形、立体図形、速さ、場合の数、数の性質、ルール指定問題など、はば広い分野から出題されており、難易度も中~中の上レベルの問題が、分厚い層を作っています。

 

よって、対策も、いわゆる定番問題を、網羅的にマスターすることが、最も重要です。

 

それに基づいて、1問ごとの難易度を見抜く目を、鍛えましょう。

 

たとえば、大問2(2)の場合の数は、難問ではありませんが、時間がかかり、ミスしやすい問題です。

 

この位置に配置されているので、「はやく解かなければ」と、あせってしまうと、危険でしょう。

 

後回しにしても大丈夫です。

 

そのような判断を、入試の現場で、自ら行えるように、しておきましょう。

 

大問6(2)(3)も、かなりの難問で、本番で捨て問にしても、大丈夫でした。

 

「でした」と、過去形になっているのは、この問題が、重要な要素を含んでいて、今後、豊島岡を含む難関校で、くり返し出題される可能性があると思われるからです。

 

単発の難問ではありません。

 

実際、2020年度の大手塾の合格判定テストで、類似問題が出題されています。

 

その年の本番では、捨て問にしても良いが、今後の出題可能性を考えると、本問に過去問演習として取り組んでいる受験生にとっては、捨て問とは言えない、

 

という問題もあります。



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