豊島岡　算数　対策　２０２０年

豊島岡２０２０年第１回算数は、例年通りの出題傾向、難易度でした。

 

「出題分野＆難易度マップ」を掲載致します。（難易度は、レッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

それでは、順に見ていきましょう。

 

大問１

（１）計算の工夫

 

（　）を含む計算の順序は、まず（　）の中を計算するのが原則です。

 

そこで、本問も、まず（　）の中を計算すると、どうなるでしょうか？

 

想像してみましょう。

 

２つの分数の足し算になりますが、分母がそろわず、通分することになります。

 

通分すると、分母が大きくなり、よって、分子も大きくなります。

 

後に「÷５」を実行する際、帯分数の整数部分３を分子に乗せなければなりませんが、巨大な分子の計算は、負担ですね。

 

そこで、分子が巨大化する前に、÷５によって小さくできないか？というアイデアが出てきます。

 

そこで、分子をチェックすると……

 

（3と3/4)=15/4の分子は５の倍数。

 

÷0.3は×10/3なので、やはり分子は５の倍数。

 

おいしい約分ができるではありませんか。

 

よって、（　）をあえてはずし（分配法則）それぞれの分数を先に５で割ります。

 

（3と3/4）÷5=(15/4)÷5=3/4

 

ここで、すごいことに気づきます。

 

最後に0.75を引くのですから、3/4-0.75=0で、何と、ここは計算不要となりました。

 

すなわち、（　）内の分数の足し算（通分）は、しなくてよい、ということになります。

 

一石二鳥ですね。渡りに船かな？

 

結局、1/6×10/3÷5=1/9……（答え）

 

たったこれだけの計算量で、答えが出ます。

 

 

よく、円周率を含む計算では、

 

「3.14倍以外の部分を（　）でくくって先に計算し、最後に3.14倍しなさい」

 

と言われます。

 

「計算の工夫」の典型例です。

 

そのため

 

「せっかく（　）でくくってあるのに、わざわざ（　）をはずすなんて、もったいない」

 

と考えがちです。

 

でも、それは「固定観念」。

 

もっと柔軟に考えましょう。

 

本問は、一見するとただの計算問題に見えますが、実は、応用問題なのでした。

 

計算の先々まで見通した作戦が有効です。

 

さすが豊島岡。よく練れた計算問題です。あっぱれ。

 

（２）

400÷6＝66あまり4

500÷6＝83あまり2

66×83＝5478

 

答え、5478枚

 

（３）数の性質

 

分母の202を素因数分解すると2×101

 

よって、分子は2または101の倍数のとき、約分できます。

 

よって、「これ以上約分できない」とは、分子が2の倍数でも101の倍数でもない場合です。

 

２の倍数は、202÷2＝101個

 

101の倍数は、202÷101＝2個

 

両者が重なっているのは、202の１個

 

101＋2ー1＝102（約分できる分数の個数）

 

202ー102＝100個（これ以上約分できない分数の個数

 

答え、100個

 

（４）約束記号

 

まず、（　）全体を求めましょう。

 

（　）＋13＝10/7×(13＋1)＝20

 

（　）＝7

 

□＋5＝7×(5＋1)＝42

 

□＝42－5＝37

 

答え、37

 

大問２

（１）相当算

 

A＝①

B＝②－3

C＝③＋13

 

３人の合計⑥＋10＝100

 

①＝15

 

答え、15本

 

（２）場合の数

 

本問が、初めて歯ごたえのある問題だったかもしれません。

 

難しい応用問題ではありませんが、ミスしやすいポイントが多々あります。

 

たとえば、２は２回「だけ」です。よって、□には２を入れてはいけません。

 

答え、57番目

 

（３）倍数

 

本問を「時計算」とよぶのは、少々違和感があります。

 

なぜならば、「回数」を問われているだけで、「時刻」を求める必要はないからです。

 

６時の時、長針と短針は180度開いており、その後、長針が短針と重なり（０度）、追い越して、７時には150度開きます。

 

180から0まで、8の倍数は180÷8＝22あまり4より、22個。

 

0から150まで、8の倍数は150÷8＝18あまり6より、18個。

 

よって、22＋18＝40回

 

答え、40回

 

（４）平面図形（面積）

 

本問は「カルネアデスの三日月」といわれる有名問題です。

 

よって、「答え10㎠」と即答できます。

 

知識の有無で、圧倒的に差がつく問題です。

 

解き方は、小半円と大半円の「面積比」が１：２であることを利用します。

 

「相似比」＝AC：AB

 

「面積比」＝AC×AC：AB×AB＝20㎠：40㎠＝１：２

 

よって、三角形ABC＋小半円×2ー大半円×1＝三角形ABC＝10㎠

 

答え、10㎠

 

大問３　速さと比

 

はじめに、AさんとBさんの速さの比を求めておきます。

 

Aさんの速さは、Bさんの平均速度です。

 

Bさん行き：Bさん帰り＝２：３

 

よって、平均速度は

 

（2×3＋3×2)÷(2＋3)＝2.4

 

Aさんの速さ：Bさんの速さ（行き）＝2.4：2＝6：5

 

（１）

Aさんが3km進んだとき、Bさんは2.5km進んでいます。

 

これが３分の１なので、家から学校は7.5km

 

Bさんが学校に着いたとき、Aさんは7.5÷5×6＝9km進む。

 

7.5×2ー9＝6km

 

答え、6km

 

（２）

 

家から学校までかかった時間の比は、A：B＝５：６

 

差の１が10分だから、Bは60分かかった。

 

60分で7.5kmなので、時速7.5km

 

答え、時速7.5km

 

大問４　平面図形と比

（１）

 

三角形ABCをGを中心にして、３つの三角形GAB、GBC、GCAに分割します。

 

３つの三角形の面積比を求めます。

 

GAB：GCA＝EB：EC＝２：１

 

GCA：GBC＝FA：FB＝１：１

 

よって、GAB：GBC：GCA＝２：１：１

 

AG：GB＝ABGC：GBC＝３：１

 

答え、３：１

 

（２）

 

三角形GADとGEHは相似で、相似比はAG：GE＝３：１

 

よって、AD＝３とすると、EH＝１、EC＝３、BH＝５より、BH：HC＝５：４

 

また、FG：GC＝ABG：CAGB＝１：１

 

台形ABCDの面積を１２とすると、平行四辺形AECDの面積は６

 

三角形FBCの面積は9÷2＝4.5

 

三角形GHCの面積は4.5×(4/9)×(1/2)＝1

 

四角形BHGFの面積＝4.5ー1＝3.5

 

よって、3.5÷6＝7/12

 

答え、7/12倍

 

大問５　ルール指定

（１）

 

9÷4＝2あまり1

 

答え、

Pは２周して１つ、つまりB。

Qは２つ、つまりC。

 

（２）

 

Qが２周して１つ進む。

 

つまり4×2＋1＝9

 

PはAを9回通るから、出た目の和は4×9＝36

 

よって、36÷6＝6

 

答え、6回

 

（３）

 

300÷4＝75cm……Qが進んだ距離。

75÷4＝18あまり3

 

Qは19周目のDにいる。

 

答え、19回

 

大問６　立体切断

（１）

 

台形AEHNには、置いた立方体の面（正方形）が接しています。

 

この正方形の頂点を、Eから時計回りにEIJKとします。

 

EK：KH＝JK：KH＝２：１

 

EK＝10÷(2＋1)×2=20/3

 

答え、20/3cm

 

（２）

 

断面図AEGCを考えます。

 

CからEに直線を引くと、この直線は、置いた立方体の頂点を通ります。

 

この頂点は、面LMGと接しています。

 

この頂点をOとすると、三角形の相似比より、CO：OE＝１：４

 

よって、立方体の１辺の長さは、10÷5×4＝8cm

 

答え、8cm

 

（３）

 

本問も、（２）とほぼ同じ要領です。共通点は

 

平面化して考えること

 

算数の発想法で言うと、「次元を下げて考える」ということになります。

 

算数の発想法についてじは、当ホームページ内

 

「算数の成績を上げるには？」（タップ、クリックできます）

 

で、さらにくわしく説明しています。

 平面図形、立体図形、速さ、場合の数、数の性質、ルール指定問題など、はば広い分野から出題されており、難易度も中～中の上レベルの問題が、分厚い層を作っています。

 

よって、対策も、いわゆる定番問題を、網羅的にマスターすることが、最も重要です。

 

それに基づいて、１問ごとの難易度を見抜く目を、鍛えましょう。

 

たとえば、大問２（２）の場合の数は、難問ではありませんが、時間がかかり、ミスしやすい問題です。

 

この位置に配置されているので、「はやく解かなければ」と、あせってしまうと、危険でしょう。

 

後回しにしても大丈夫です。

 

そのような判断を、入試の現場で、自ら行えるように、しておきましょう。

 

大問６（２）（３）も、かなりの難問で、本番で捨て問にしても、大丈夫でした。

 

「でした」と、過去形になっているのは、この問題が、重要な要素を含んでいて、今後、豊島岡を含む難関校で、くり返し出題される可能性があると思われるからです。

 

単発の難問ではありません。

 

実際、２０２０年度の大手塾の合格判定テストで、類似問題が出題されています。

 

その年の本番では、捨て問にしても良いが、今後の出題可能性を考えると、本問に過去問演習として取り組んでいる受験生にとっては、捨て問とは言えない、

 

という問題もあります。