栄光　算数　対策　２０２２年

（１）入試結果

 

栄光２０２２年・算数は、一段と難しくなりました。

 

合格者平均点は70点満点中、38.5点(55%)です。

 

ここ数年、平均点は下がり続けています。

（栄光学園ホームページより引用）

 

（２）出題分野

 

「数の性質」「場合の数」「速さ」「立体図形」から、出題されています。

 

「数の性質」は実質的には「場合分け」の要素も多く含んでいます。

 

「立体図形」は、展開図を合わせて考える必要があり、実質的には「平面図形」との融合問題になっています。

 

いずれも、中学受験・算数の最新傾向に沿った出題です。

 

（３）難易度

 

年々、難化し続けていますが、それに比べると、平均点はそれほど大きく下がっていません。

 

その理由は、もちろん、１人１人の受験生の努力によって、受験生側の実力が上がっていることもあるでしょう。

 

が、それに加えて、得点しやすい問題が一定量残っているという点も、見落とせません。

 

各大問の後半の小問が、どんどん難化する一方、前半は比較的易し目で、むしろ得点しやすい。

 

つまり、難しい問題と易しい問題がはっきり色分けされていて、40%（約30点）ぐらいは簡単に得点できるということです。

 

出題分野＆難易度マップを掲載致します。（難易度は、レッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEFの順に難しくなっていきます。

 

 

レベルA～Dの問題をすべて得点すると、合格者平均点をやや上回ると推定します。

 

それでは、順に見ていきましょう。

大問１「数の性質」

 

（１）

 

ウオーミングアップ問題です。帯分数に直して、整数部分と、分数部分を分けて足すと、速いでしょう。

 

（２）

 

9/5以下ということは、とにかく小さくしてしまえば良いということです。

 

そこで、大きい数（6～10)は分母へ、小さい数(1～5)は分子へ、配置します。

 

また、分子の中でも大きな数は、大きな分母で割って、小さくするという方針でいきます。

 

5/10+4/9+3/8+2/7+1/6=893/504（答）

 

（３）

 

今度は「和が整数」という条件があります。

 

よって、7は絶対に分子です。

 

また、3、6、9などは、分母が3の分数にして、和が整数になるよう、工夫します。

 

2、4、8は、分母が2の分数を作るのに適しています。

 

大まかに、このような方針で試すと、一例として、以下の式ができます。

 

7/2+1/3+10/5+4/8+6/9=7（答）

 

 

（４）（５）ともに、多くの地道な場合分けをくり返すことで、必ず正解にたどり着けます。

 

そのような意味で、本問は「場合分け能力」を試す問題ともいえます。

 

でも、それでは、あまりにも時間がかかる！

 

もっと効率よく解けないか？

 

というわけで、ご紹介するのが、以下の裏技です。

 

まず、（４）と（５）を見比べると、（４）では、最も小さい整数となる「式」を答え、（５）では、考えられる「計算結果（整数）」をすべて答えることを求めています。

 

結局、すべての整数をチェックしなければならないなら、はじめから、まとめて全部求めてしまいましょう。

 

その際、

 

「最大値」→「最小値」→「中間値」

 

の順に求めるのが、最も効率的です。

 

さて、「整数」とは、「約分すると分母が1になる分数」のことです。

 

つまり、分子は、分母より大きい。

 

そこで、大きい数は分子へ、小さい数は分母へ、配置します。

 

特に、7は分母に配置すると、約分の相手がいないため、必ず残ってしまい、積が整数になりませんから、絶対分子です。

 

(6/1)×(7/2)×(8/3)×(9/4)×(10/5)=252

 

整数になりました。（最大値252）

 

これを、見やすいように、次のような表で表すことにします。

（表１）

 

次に、最小値を求めます。

 

分子の7は絶対に約分できませんから、残ります。

 

もし、それ以外の数がすべて約分できて、1になってしまえば、最小値は7になります。

 

あとは、そのようなことが実際に起きるか、式を書くように、確認を求められているわけです。

 

そこで、1～10までの整数を、素因数分解の形で表してみます。

• 1=1
• 2=2
• 3=3
• 4=2×2
• 5=5
• 6=2×3
• 7=7
• 8=2×2×2
• 9=3×3
• 10=2×5

素因数としての2は8個、3は４個、5は2個、7は1個あります。

 

7は分子に配置することが確定ですから、残りの素因数を見てみると、すべて偶数個。

 

よって、分子、分母に半分ずつ配置できる可能性があります。

 

仮に配置できるとすると、252÷7=36なので、積252を作った式を36で割れば最小値7になります。

 

これは、表１の分子の6と、分母の1を交換することで、達成できます。

 

（分子が6分の1倍になり、分母が6倍になれば、全体では36分の1倍になります）

（表２）

 

最小値7が、確認できました。

 

では、2番目に小さい数は何でしょうか？

 

ここで、素因数分解の結果を思い出してみましょう。

 

たとえば、素因数としての2は8個あり、表２では、これらが分子分母に4個ずつ配置されています。

 

これを分子5個、分母3個に配置しなおすと、約分後、分子に2×2=4が残ります。

 

つまり、7を4倍（平方数倍）したことになり28になります。

 

これを式で表すには、表２の1と2を入れかえます。

 

分子が2倍、分母が2分の1倍になったので、全体では4倍になっています。

 

このように、素因数を分母から分子へ移動することにより、7は、必ず「平方数倍」されます。

 

よって、さらに3×3=9倍、4×4=16倍、5×5=25倍できる可能性があります。

 

実際、表２の1を、3、4、5と入れかえることによって、9倍、16倍、25倍したのと同じことになりますから、式で表すことができます。

 

7の36倍は、最大値252なので、これで全て出そろいました。

 

答え、7、28、63、112、175、252

大問２「場合の数」

 

（１）（ア）

• 1-1-1-1-1
• 1-1-1-2
• 1-1-2-1
• 1-2-1-1
• 2-1-1-1
• 1-2-2
• 2-1-2
• 2-2-1

以上8通り（答）

 

（１）（イ）

 

上の8通りは、いずれもスタートに戻らない場合で、和は5

 

これに対し、スタートに戻る場合は④で2の目が出ます。

• 2-2-2-1-2-2→和11
• 2-2-2-2-1-2-2→和13

以上より、和は5、11、13（答）

 

（２）（ア）

• 3-3-4-3→和13
• 4-4-3→和11

以上より、11、13（答）

 

（２）（イ）

 

はじめに3-4でスタートに戻り、その後3が出続けてスタートと③を何度も往復し、最後に4-4-3でゴールします。

 

3+4+3×□+4+4+3=2022

 

□=668

 

よって、2+668+3=673回（答）

 

（３）

• 和5(1-4)
• 和7(3-3-1)
• 和9(4-3-2)
• 和11(4-4-3)
• 和13(3-3-4-3)

以上より、5、7、9、11、13（答）

 

（４）

 

仮にスタートに戻らないとすると、遠回りした分は必ず往復で偶数になり、5+偶数=奇数ですから、12にはなりません。

 

よって、必ずスタートに戻ります。

 

すると12-5×2=2より、遠回り分は2です。

• 1-1-1-4-4-1
• 1-2-4-2-2-1
• 2-1-4-1-3-1
• 1-2-1-3-2-3
• 1-2-1-2-1-2-3
• 2-1-1-3-1-4
• 2-1-4-1-3-1
• 3-1-3-1-1-3
• 3-4-1-1-2-1
• 1-3-2-1-2-1-2

以上、10通り（答）

大問３「速さ」

 

（１）（２）については、基本的な速さの問題です。

 

栄光学園の受験生にとっては、何も問題ないでしょう。

 

（３）

 

（２）の答えが1380mで、この時、AとBが重なっているので、次の1380mでも、全く同じことが起きます（周期6.7分）

 

3000-1380×2=240

 

Aは残り240mを分速240mで走るので、1分です。

 

6.7×2+1=14.4分=14分24秒（答）

 

（４）

 

同様に地道に調べていくと、7.5分でAが1580m走ったところで、3人の位置関係は、スタート時と同じになります（周期7.5分）

 

2倍すると、15分で3160mですから、160mだけ元に戻ればOK。

 

160÷200=0.8分

 

7.5×2-0.8=14.2分=14分12秒

 

差は12秒（答）

 

（５）

 

（４）のときに比べて、5秒遅れています。

 

これは、AがCに追い越された直後、分速を240mにして走っていた時間が短いためです。

 

本来、分速240mで1分間走っていた距離（240m）を、分速240mと分速200mで合計1分5秒で走ったことになります。

 

ここでつるかめ算が成立します。

 

CがAの前10m以内にいた時間は35秒とわかります。

 

AがCに2回目に追い越されてから35秒経過後に、Aはちょうど10周し、この時、CはAの前方35/6mの地点にいたことになります。

 

ここから逆算します。

大問４「立体図形」

 

（１）（２）は、栄光学園の受験生にとっては、とても簡単な問題です。

 

では、なぜ、このような問題を出題したのかというと、おそらく、側面の展開図と、底面の4分円が相似（4:1)になっていることを、強く印象づける目的があったと思われます。

 

これが本問の最大のポイントであり、重要なヒントになっています。

 

点Qを点Pの影（シャドー）と考えて解くことになります。

前年度の「対策」で、くわしくご説明した通りのことが、本年度でも繰り返されています。

 

栄光学園の算数は、以前のように、センス一発で簡単に解けるものばかりではありません。

 

地道に調べ上げる問題（大問２、３）、センスで解ける問題（大問４）、両者を融合した問題（大問１）が、すべて出題されるようになりました。

 

その結果、県内のライバル校であるS中学の出題傾向を一部取り込み、さらに、センスの良い受験生にはアドバンテージを与える、というスタンスになっています。

 

ただ、一部の問題が難化しすぎて、平均点が下がり、現状、実質40点満点の試験になっています。

 

算数を得点源とする受験生でも、40点を超えるのは、至難のわざでしょう。

 

逆に、簡単な問題はかなり簡単で、30点くらいなら（栄光学園の受験生なら）誰でも解ける問題になっています。

 

ということは、ほとんどの受験生が30点～40点の間に密集し、大混戦になっていると考えられます。

 

対策としては、算数でまず30点を確実に得点できるようにすることです。

 

ここから先、40点に近づけば近づくほど、求められる能力がどんどん上がります。

 

40点を超える勉強は、多くの受験生にとって、一般的な環境の下では、困難です。

 

40点取るだけでも、大変なことです。

 

４教科の合計点で勝負することを、常に視野に入れましょう。

 

そして、自分の得意、不得意も考えながら、総合的に対処しましょう。

 

 

追伸：

 

40点を超えるのが難しいというのは、本年度の難易度を前提にしていますが、ここは、毎年変わる可能性があります。

 

いわゆる、「揺り戻し」の可能性は、常にあります。

 

ですから、本年度の出題分野＆難易度マップで、レベルE、Fの問題と同程度の難問は、来年度以降も捨て問にして大丈夫、という意味にご理解下さい。