桐朋　算数　対策　２０１９年

桐朋中２０１９年第１回算数は、やや難化しました。

 

序盤は、例年通り基本的な問題が多かったのですが、中盤から後半にかけて、難問が出題されています。

 

大問４の平面図形は、シンプルながらも、算数の重要な発想法が盛りだくさんの、応用問題です。よく練られた良問です。

 

大問６の場合分けも、なかなか大変です。

 

大問７の展開図問題は、超難問です。正確に説明するのは、小学生には、ほぼ不可能でしょう。部分点も、いただけないようです。

 

このあたりが、受験者平均点、合格者平均点を押し下げた要因と思われます。

 

順に見ていきましょう。

 

大問１「計算問題」

 

ウオーミングアップ問題です。確実に得点しましょう。

 

大問２

 

（１）「数の性質」

 

「15で割っても、24で割っても7余る」ということは、「15と24の公倍数で割ると、7余る」ということです。

 

15と24の最小公倍数は120。

 

2019÷120=16余り99

 

120×16+7=1927

 

120×17+7=2047（答え）

 

「2019に最も近い」という言い回しのときは、2019の直前だけでなく、直後も含みます。

 

また、公倍数は最も近くても、余りを足すと、遠くなってしまう場合もあります。

 

ミスしないよう、注意しましょう。

 

（２）「割合（売買損益算）」

 

120×0.85=102枚…定価１で売った枚数。

 

120-102=18枚…定価の２割引き0.8で売った枚数。

 

1×102+0.8×18=116.4…定価を１としたときの、売り上げ合計。

 

93120÷116.4=800円（答え）

 

（３）「割合」「倍数算」

 

男子×(1/5)+女子×(3/14)＝115

 

男子×(1/5)+女子×(1/5)=112

 

よって、

 

女子×(1/70)=3

 

女子=3×70=210人（答え）

 

以上、大問２（１）～（３）は、基本的な定番問題でした。

 

大問３「ニュートン算」

 

牛１頭が１日に食べる牧草の量を１とします。

 

30×30=900

 

20×50=1000

 

(1000-900)÷(50-30)=5…１日に生える草の量

 

900-5×30=750…もともと生えていた草の量

 

750÷75=10…１日に減る草の量

 

(5+10)÷1=15頭（答え）

 

典型的なニュートン算ですが、記述式です。

 

記述式は難しいので、問題自体は応用要素のない、ナマの問題になっていて、バランスをとっています。

 

大問４「平面図形」

 

（１）平行四辺形BEFDの面積は、三角形BCDの面積の２倍であり、長方形ABCDの面積と等しい。

 

よって、7×10=70㎠（答え）

 

（２）三角形AEDの面積は、五角形ABECDの面積から、三角形ABEと三角形DCEの面積を引くことによって、求められます。

 

ここで、五角形ABECDの面積は、長方形ABCDと三角形BCEの面積の和でもあります。

 

長方形ABCD=7×10=70㎠

 

また、EC:CF=3:2に注目すると、三角形BCEの面積=平行四辺形BEFDの面積×(1/2)×(3/5)=21㎠

 

よって、五角形ABECD=70+21=91㎠

 

三角形ABEと三角形BCEの面積の和は、AB=CD=7cmを底辺と考えると、高さ合計=10cmと考えられるので、

 

7×10÷2=35㎠

 

よって三角形AED=91-35=56㎠（答え）

 

大問５「速さ（流水算）」

 

（１）240÷4=60m/分（答え）

 

（２）240÷(360-60)=0.8

 

4+0.8=4.8分ロスしました。

 

その後は、本来なら300-60=240m/分で上るところを、300m/分で上ったので、かかった時間は、5:4。

 

差の1が4.8分にあたるので、5にあたるのは4.8×5=24分。

 

240×24=5760m（答え）

 

（３）

行き240m/分。帰り360m/分。時間の比は3:2。1にあたる時間が9分。

 

よって、P地からQ地までの道のりは

 

240×9×3=6480m（答え）

 

大問６「ルール指定・場合の数」

 

（１）もう１つの２を塗れるのは、EまたはFですが、Fに塗ってしまうと、３を３つ塗れなくなるので、２はEで決まり。

 

３は、ADFまたはBDF.

 

よって、402323、132323（答え）

 

（２）なるべく大きい位の３を塗ります→ACE

 

残っているスペースのうち、なるべく大きな位の２を塗ります→BD

 

残っているスペースのうち、なるべく大きな位の１を塗ります→A

 

よって、423230（答え）

 

（３）A列の２が塗られていると、３の塗り場所は、BDFに確定します。

 

奇数にするためには、これ以上、Fを塗ってはいけません。

 

よって、もう１つの２は、CまたはEを塗ることになります。

 

それぞれについて、１を塗っても良い場所を、塗ります。

 

答え

242303,232403,232313,240323,231323,230423

 

大問７「立体図形（展開図）」

 

（１）問題文中の展開図に、数字をどんどん書き込んでいきます。

 

最後に、図１－図２を計算します。

 

４cm（答え）

 

（２）

①aが8本。3cmが4本。2cmが2本のとき、周の長さが最も長くなります。

 

44-3×4-2×2=28

 

28÷8=3.5（答え）

 

②まず、展開図の周の辺が、合計何本かが、問題となります。

 

長方形が６面あり、バラバラだと、辺の数合計は、4×6=24本になります。

 

でも、展開図では、長方形のつなぎ目が5か所あるので、2×５=10本が、つぶれます。

 

よって、合計24-10=14本。

 

14本の内訳について。

 

各辺は、展開図に開くとき、１本の辺を２本に分けるので、展開図上では、必ず偶数本ずつになります。

 

また、同じ長さの辺は、直方体のとき4本なので、展開図上では、最小2本、最大8本になります。（0本だと、展開図が輪っかになってしまい、展開図になりません）

 

以上から、内訳は「2以上8以下の偶数で、3つの和が14」ということになります。

 

(2,4,8)(2,6,6)(4,4,6)の３種類です。

 

（いずれも、展開図になることが確認できます。その際、図１、図２が参考になります。）

 

次に、内訳の組み合わせを、3.5cm,3cm,2cmに割り当てて、展開図の周の長さを求めます。

 

合計12通りありそうですが、42と39が2回ずつあります。よって10通り（答え）

 

難問です。

 

桐朋２０１９年第１回算数は、100点満点で、受験者平均点51.4点、合格者平均点63.0点。

 

例年に比べると、やや難しかったと言えます。

 

配点は不明ですが、おおざっぱに言うと、小問単位で７問落としても、合格者平均点は、ぎりぎり上回れそうです。

 

難しかったのは、大問４（２）、大問６（３）、大問７（２）。

 

それに続いて難しかったのは、大問５（２）（３）、あたりでしょうか。

 

本番では、後回しでよい問題です。

 

逆に、絶対落とせないのが、大問１全問、大問２全問、大問５（１）、大問７（１）です。

 

対策１

 

たとえば、大問３のニュートン算は、典型的なニュートン算です。応用の要素は、全くありません。

 

このような問題を、記述式で出題するという点に、学校側が受験生に求めている勉強が、よく表れています。

 

つまり、難易度の高い問題を、無理して勉強しなくてもよいかわりに、なぜ、そのような解き方をするのか、しっかり理解してほしい、ということです。

 

本問も、答えだけ書けばよいなら、桐朋受験生の正答率は、かなり高くなるでしょう。

 

でも、解法暗記に走っている受験生は、解法の意味を説明できません。

 

算数で、暗記は禁物ということを、肝に銘じて下さい。理解が伴う勉強が必要です。（対策１）

 

対策２

 

大問４の平面図形。

 

シンプルでありながら、算数の発想がつまった、すばらしい応用問題です。

 

（１）では、三角形BCDが、長方形ABCDの半分でもあり、平行四辺形BEFDの半分でもある、という見方ができるかが、勝負です。

 

多面的なものの見方ができるか、ということです。

 

（２）も同様です。

 

「傾向」の解説で述べたように、ここでは、五角形ABECDの面積を、２通りの方法で、表す必要があります。

 

つまり、一つのことを、多面的にながめるトレーニングが必要です。（対策２）