麻布　算数　対策　２０２２年

 

それでは、順に見ていきましょう。

大問１「マルイチ算」

 

大型トラックで32個の荷物を運んだ回数を「大」、10個以下の荷物の個数を□とします。

 

20×(①+5)=32×①+□

 

100=12×①+□

 

よって、①=8、□=4

 

大型トラックで荷物を運んだ回数は、8+1=9回（答）

 

荷物の個数は、32×8+4=260個（答）

大問２「時計算」

 

（１）長針と同じ向きに、2倍の速さで動くシャドー（影）が、12のメモリから2時に出発して、短針に追いつく時です。

 

2時+60÷(12-0.5)分=2時5分13と1/23秒（答）

 

（２）長針と反対向きに、長針と同じ速さで回るシャドーが、6のメモリから1時に出発して、短針に出会う時です。

 

1時+150÷(6+0.5)分=1時23分4と8/13秒（答）

大問３「場合の数」

 

（１）Aが3個、Bが1個のパターンです。

 

Aの選び方が9通り、それぞれにつき、Bの選び方が8通りなので、ABの選び方は、9×8=72通り。

 

それぞれ、AAAB、AABA、ABAA、BAAAの4通りあるので、

 

72×4=288個（答）

 

（２）0が1個の場合、数字の組み合わせは(1110)(2220)……(9990)の9通りで、それぞれが3個ずつなので、

 

3×9=27個

 

0が3個の場合、(1000)(2000)……(9000)の9個

 

よって、（１）の288個と合わせると、

 

288+27+9=324個（答）

 

（３）3の倍数になるためには、各位の数の和が3の倍数、です。

 

Aが3個、Bが1個とすると、A3個の和は、常に3の倍数（または0)なので、Bに注目します。

 

Bが0の場合、(1110)(2220)……(9990)が、順序の入れ替えも含めて、各3個×9=27個

 

Bが３の場合、数字の組み合わせは、(0003)(1113)(2223)(4443)……(9993)

 

(3333)はナシ！

 

数字の入れ替えは、(0003)が3000の1個、(1113)以下は、4個ずつなので、1個+4個×8=33個

 

Bが6、9の場合も、同様に33個ずつ

 

よって、27+33×3=126個（答）

大問４「速さ」

 

（１）仮に、弟もAからスタートしたとすれば、弟が残り24mのとき、兄は残り1秒です。

 

その後、弟がゴールするまでの時間は、兄の残り1秒と、兄がゴールした後の4.6秒です。

 

つまり、弟は、24m走るのに1+4.6=5.6秒かかります。

 

24÷5.6=4と2/7m/秒（答）

 

（２）仮に弟がAから出発していれば、6mに1.4秒かかります。

 

兄が弟と同時にゴールするためには、兄は、Dよりも1.4秒分手前からスタートすることになります。

 

弟がAからゴールまで走り切ったとき、兄は、Aからゴールよりも、4.6秒分長く走ることになります。

 

つまり、兄はDA間の24mを4.6-1.4=3.2秒で走ります。

 

24÷3.2=7.5m/秒

大問５「平面図形と比」

 

（１）正六角形の中心の点をOとします。

 

三角形OAFの面積は、6÷6=1㎠

 

三角形ACGは三角形OAFに比べて、底辺は1/3倍、高さは2倍なので、面積は1㎠×1/3×2=2/3㎠（答）

 

（２）AIとCDの交点をM、AFとDEの交点をN、正六角形の1辺の長さを3とします。

 

三角形IDMとINAは相似で相似比はID:IN=2:4=1:2

 

よって、DM=AN×1/2=3

 

三角形JCMとJGAは相似で、相似比はCM:GA=6:1

 

よって、CJ:JG=6:1

 

三角形AJG=三角形ACG×1/7=2/3×1/7=2/21㎠（答）

 

（３）正六角形全体から、余分なものを引き、引きすぎた分は、最後に加えます。

 

正六角形-三角形ABC-三角形CDE-三角形EFA=６-１×3=3㎠

 

3-三角形ACG-三角形CEH-三角形EAI=３-２/３×3=1

 

1+三角形AJG＋三角形CKH+三角形ELI=1+2/21×3=1と2/7㎠（答）

大問６「ルール指定・規則性」

 

（１）問題文の指示通りに作業します。

 

7個の数は、2,6,10,14,18,22,26

 

引いたのは18（答）

 

（２）同じく、問題文の指示通りに作業します。

 

29（答）

 

（３）ここまでの作業を通じて、結局1の位の数字だけ追っていれば良いということに気づくことでしょう。

 

麻布の受験生であれば、（１）に取りかかる前から、気づいていたかもしれません。

 

そして、

• Aは4で割ると、あまりが1の数を引く。
• Bは4で割ると、あまりが2の数を引く。
• Cは4で割ると、あまりが3の数を引く。
• Dは4で割ると、あまりが0の数を引く。

ということも、わかります。

 

1の位の数字とは、すなわち、10で割ったあまりですから、とりあえずの周期は4と10の最小公倍数の20です。

 

この表を使うと、計算が効率的です。

 

また、（１）（２）でBとAについて調べましたが、CはAと、DはBと似ています。

 

（1列目と2列目が逆になっているだけです）

 

このことに気づくと、CとDの表は作る必要がありません。（対称性）

 

よって、さらに効率的になります。

 

結局、手札を捨てるタイミングは、7,16,18,20,29,36,37,38,39,40……であることが、わかります。

 

よって、4つ連続している最後の数39（Cさん）が答えとなります。

 

（４）40の手札を引いて、即、捨てたのはDさんです。

 

この時点で、全員の手札がなくなり、Aさんが、41、すなわち、4で割っても、10で割っても1あまる数を引きます。

 

この状況は、一番初めにAさんが１の手札を引いたときと全く同じなので、周期は40であることがわかります。

 

（３）で調べた、手札を捨てるタイミングを見ながら、4人全員がそれぞれ1枚以上の手札を持っている状態を調べると、

• 手札4～６→3回
• 手札11～15→5回
• 手札24～28→5回
• 手札33～35→3回

合計16回

 

250÷40=6あまり10

 

16×6+3=99回（答）

・毎年言えることですが、同じ大問中の小問には、はしごに上るように、（１）は（２）のヒント、（２）は（３）のヒント……という関係が見られます。

 

出題者による「誘導」ですね。

 

これを、最大限、利用しましょう。

 

たとえば、大問５。

 

（１）が三角形ACGの面積、（２）が三角形AJGのの面積をきいています。

 

これは、すなわち、

 

「CJ:JGの比を求めなさい」

 

と言っているようなもの。

 

解法を教えてくれているようなものです。 

 

さらに、（３）の難問。これを単独で出題されると、かなりきついと思います。

 

でも、（２）で三角形AJGの面積を求めたのはなぜか？と考えると、ここを重ねて引いて、「あとで調整」すれば良い、というアイデアが、簡単に出てきます。

 

そして、本問の図形が「対称性」を備えた図形であることに注目して、三角形AJGと対等な立場にある三角形を見つけ、どこをどう仕切れば良いかを「逆算」していくわけです。

 

このあたり、実に麻布らしい、美しい問題です。

 

「対称性」を利用して、「ゴールからさかのぼって考える」というわけです。

 

 

大問６でも、（１）（２）が（３）のヒントになり、（３）が（４）のヒントになっています。

 

しかも、AとC、BとDが「対称性」の関係になっていることに気づくよう、ヒントが出されています。

 

 

・大問４の「速さ」の問題も、かなりの難問で、特に（２）は、本年度の最も難しい問題だったのではないかと思います。

 

ここでは、「仮定して考える」という算数の発想法が使われています。

 

どのように仮定するか、具体的なことは「各論」の中でご説明していますが、要するに、

 

問題が解きやすくなるように、自分に都合よく、仮定する

 

ということです。

 

問題文には、「弟がA地点の6m東のC地点から出発する」と書いてありますが、

 

「あ～あ。A地点から出発してくれれば、比べやすくて好都合なのになあ……」

 

と思ったら、そのように仮定してしまえば良いのです。

 

問題文の細工（ズラシ）を元に戻して、骨太の論理が浮かび上がるように、問題文を作り直してしまうのです。

 

それによって生じる「各種しわ寄せ」は、「あとで調整」できるように、問題が作ってあります。

 

・以上、本年度の問題も、麻布らしい、算数の発想法にあふれる、芸術的な作品でした。

 

レッツ算数教室では、

• 問題文の誘導への乗り方
• 問題文の「ズラシ」を元に戻して、問題文を解きやすく作り直す方法

など、「算数の発想法」に基づいた指導に、力を入れています。