「比」の用心


中学受験・算数では、「比」が大活躍します。

 

「比」を使うと、計算量を大幅に減らすことができます。

 

そればかりか、方程式では解きにくい問題が、あっさり解けることもあります。

 

そのため、「~を1とすると」といった解き方が多くの問題に使われています。

 

たとえば仕事算で、「全体の仕事量を1とすると……」とやりますね。

 

ところが、この「比」を使った解き方には、思わぬ落とし穴があります。

 

その一つが、「比のかけ算」。

 

次の問題を見てみましょう。

 

「ある長方形のたての長さと横の長さの比は2:3、面積は24㎠です。この長方形のたてと横の長さを求めなさい。」

 

ようし、比を使って解くぞ~!

 

たての長さを②、横の長さを③とする。

 

長方形の面積は、たて×横。

 

②×③=⑥=24

 

①=4

 

たて②=8cm、横③=12cm

 

できました!

 

では、確かめてみましょう。

 

8cm×12cm=96㎠

 

あれ、おかしいな……24㎠のはずなのに……

 

うわぁー。どこでだまされたんだぁー?

 

誤りの原因は「②×③=⑥=24」の部分です。

 

X(エックス)を使って書けば、

 

2X・3X=6・X・X=24

 

X・X=4

 

X=2

 

よって、たて=2X=4cm、横3X=6cm。

 

確かめると、4cm×6cm=24㎠

 

こちらが正解となります。

 

さて、このような問題を見せられると、比を使って解くのが怖くなってしまいます。

 

「他にも、思いがけない落とし穴があるのではないか?」

 

と、ぶるってしまいます。

 

5年生になると、比の勉強が始まります。

 

「比は難しい……」

 

と感じて、それまで得意だった算数が苦手科目になってしまう子が、後を絶ちません。

 

その原因は、比を使った解き方を十分理解することなく、何となく先生のマネをしているところにあります。

 

仕事算を例にとりましょう。

 

先生が

 

「全体の仕事量を1としましょう」

 

と説明し始めたとき、小学生の私は、

 

「どうして1と決まっているわけではないものを、勝手に1と決めつけていいのだろう?」

 

と、疑問に思ったものです。

 

「もし、箱を10個運ぶ仕事なら、全体の仕事量は10ではないのか?」

 

「もし、あんパンを24個食べる仕事だったら、全体の仕事量は24ではないのか?」

 

「そもそも仕事って、何のお仕事?」

 

「人には言えない、悪いこと?」

 

謎のお仕事を相手に、悪戦苦闘したものです。

 

「でもまあ、仮定して解く、ということなら、一応最後まで説明をきいてみるか」

 

と思い、きいていたのですが、結局

 

「もし1でない場合はどうなるか?」

 

という説明はありませんでした。

 

この点は非常に気になり、仕事算を解くたびに「罪悪感」に悩まされていました。

 

そこでどうしたか、というと、私は自分で試してみたのです。

 

「全体の仕事量を2としたら、どうなるか?」

 

「3としたらどうなるか?」

 

「4としたらどうなるか?」

 

不思議なことに、答えは必ず「1」としたときと同じになりました。

 

その理由を探るため、1つ1つの式を追いかけて比べてみました。

 

すると、

  • 「2」とした場合、すべての数字が2倍になる
  • 「3」とした場合、すべての数字が3倍になる
  • 「4」とした場合、すべての数字が4倍になる

あたりまえですね。

 

すると、答えも2倍、3倍、4倍になるはずではないか……?

 

ところが、最後の式は「割り算」

 

「全体の仕事量」÷「1日あたりの仕事量」

 

ここで、分母、分子がともに2倍なら、約分して、答えは元と同じ。

 

分母、分子がともに3倍なら、約分して、答えは元と同じ。

 

つまり、「比の値」は一定。

 

「なるほど、だから全体の仕事量を1としても、大丈夫なのか」

 

と、納得しました。

 

それからは、問われているのが「比の値」なのか、「具体的な量~㎠など」なのか、よく観察して、比を使っても大丈夫な問題かどうか、用心深く厳密な注意を払うようになったのです。

 

 

「比」はとても便利な解法ですが、十分な理解を伴っていないと、大失敗します。

 

くれぐれも「解法暗記」に走らないよう、心がけましょう。

 

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