駒場東邦 算数 対策 2022年


目次
「傾向」
1、概要 
(1)入試結果
(2)出題分野
(3)難易度
2、各論(大問1~4)
「対策」

傾向

1、概要

(1)入試結果

 

駒東2022年・算数は、非常に難化しました。

 

  受験者平均点 合格者平均点
2022年 

35.5

(29.6%)

42.6
2021年

60.6

(50.5%)

73.0
2020年

74.0

(61.7%)

84.0
2019年

78.4

(65.3%)

89.1
2018年

79.9

(66.6%)

87.3

(駒場東邦中学ホームページより引用・算数120点満点)

 

年々、難化傾向にありましたが、平均点が、一気に半分になりました。

 

(2)出題分野

 

「場合の数」「平面図形」「立体図形」「パズル」と、これらの融合問題です。

 

特に、「場合の数」「パズル」の超難問が多数出題されています。

 

(3)難易度

 

入試結果が示す通り、ここ30年で、最も難しかったと思われます。

 

大問2以降は、大問2(2)を除き、ほぼ得点不可能ではないでしょうか。

 

他方、大問1は、多数の小問に分かれ、難易度もほどほどです。

 

配点は大問ごとに4等分(30点ずつ)ではなく、大問1が40点ぐらいかと推定します。

 

出題分野&難易度マップを掲載致します。(難易度は、レッツ算数教室の分析によります)

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

   出題分野&難易度マップ
大問1    
(1) 計算問題 A
(2) 場合の数 C
(3)(a)ア 場合の数 B
(3)(a)イ 場合の数 C
(3)(a)ウ 場合の数 D
(3)(b) 場合の数 E
(4)(a)ア 場合の数 B
(4)(a)イ 場合の数 C
(4)(b)ウ 場合の数 C
(4)(b)エ 場合の数 E
大問2    
(1) 平面図形・軌跡 E
(2) 平面図形・面積 D
大問3    
(1) 論理パズル E
(2) 論理パズル E
(3) 論理パズル E
大問4    
(1) 立体パズル E
(2) 立体パズル E
(3) 立体パズル E

 

配点(推定)

大問1、各4点×10問

大問2以下、各10点×8問

 

レベルE以外がすべて取れれば、42点(合格者平均点は42.6点)

 

それでは、順に見ていきましょう。

2、各論(大問1~4)


大問1(1)「計算問題」

 

ウオーミングアップ問題です。

 

0.625=5/8は、必須知識です。

 

最後の部分に、中学数学で勉強する因数分解(展開)の公式

 

(A+B)×(A-B)=A×A-B×B

 

が、うめ込まれています。


(2)「場合の数」

 

各位の数字の和が6ということは、6個の玉(○)を、一の位、十の位、百の位、千の位に分けることと同じです。

 

たとえば、

  • 1122→○/○/○○/○○
  • 510→0510→/○○○○○/○/
  • 6→0006→///○○○○○○

と表せます。

 

ただ、一の位~百の位までは、0~6のすべての数字が使えるのに対し、千の位は1または2、しかも2000台は2022までと、特殊です。

 

・そこで、まず600以下について何個あるか数えましょう。

 

切りかえ棒(/)は2本なので、6個の○と2本の/、合計8個の置き場所から、/の置き場所を2か所選ぶ方法

 

8×7÷2=28通り

 

・1005~6000までについて

 

先に千の位に○を1個配っておきます。

 

残り5個の○を一の位、十の位、百の位に配ります(0個もOKです)

 

7×6÷2=21通り

 

・2004~2022までについて

 

2004、2013、2022の3通り

 

以上より、28+21+3=52個(答)


大問1(3)「場合の数」

 

(a)

 

各コインにつき、「使う」「使わない」の2通り。コインは4枚。よって、

 

2×2×2×2=16通り

 

ただし、これには、すべて「使わない」を選択する「0円」の場合がふくまれています。よって、

 

16-1=15通り(ア答)

 

イウを求めるには、結局アの場合も含めた一覧表が必要です。

 

(数字はコインの番号)

払うコイン おつり1枚 おつり2枚
0 なし なし
1 0 なし
2 0,1 01
3 0,1,2 01,02,12
01 なし なし
02 1 なし
03 1,2 12
12 0 なし
13 0,2 02
23 0,1 01
012 なし なし
013 2 なし
023 1 なし
123 0 なし
0123 なし なし
15通り 17通り 7通り

 

ア15、イ17、ウ7(答)

 

(b)

 

コイン番号 金額
  0   1円 
  1   3円
  2   9円
  3   27円
  4   81円
  5   243円
  6   729円
  7   2187円

 

2187-2022=165円

 

よって、差の165円を作ることを考えます。

 

243と81の差がだいたい160なので、試しに引いてみると

 

243-81=162

 

①が3円なので、162と組み合わせれば、165になります。

 

2187+81-243-3=2022

 

⑦+④-⑤-①=2022

 

⑦④を払い、おつりに⑤①をもらう(答)


大問1(4)「場合の数」

 

ア……上の2通り、イ……下の8通り

                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     

 

ウはイの中心に塗るだけなので、8通り

 

エは、次のように場合分けします。

  • 3つがつながっている場合
  • 3つのうち2つがつながり、1つが離れている場合
  • 3つとも離れている場合

です。

 

[3つがつながっている]

                   
                   
                   

上の2通り

 

[2つがつながり、1つが離れている]

                             
                         
                 

残りの1つは、○がついているスペースのいずれかを塗ります。

 

それぞれ4通りずつ

 

[3つとも離れている]

                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

以上、4通り

 

合計すると、2+4×2+4=14通り(エ答)

 

 

大問1の(2)(3)(4)は、それぞれが、本来の大問1問分に相当する重さです。

 

ここまでで、制限時間を使い切り、算数40点で合格した受験生も、多かったのではないでしょうか。


大問2(1)「平面図形・軌跡」

 

図1の三角形XBYは直角三角形なので、Bは、Mを中心、XYを直径とする円の周上の点です。

 

よって、BMは常に半径であり、長さは8cmです。

 

よって、Mは、Bを中心とする、半径8cmの四分円上を動きます。

 

同様に、各頂点を中心とする、半径8cmの四分円の上を動きます。

 

さらに、XYがAB、BCに平行を保ったまま、平行移動する時、Mは十字の上を動きます。


大問2(2)「平面図形・面積」

 

(2)は、正方形の1辺が16cmであるということ以外、(1)とは何の関係もありません。

 

斜線部分の面積は、1回広げるたびに、2倍、2倍と拡大されていきます。

 

よって、図3の斜線部分の面積を求め、2を6回かければ、図4で斜線のある部分の面積となります。

 

図3のおうぎ形の半径はルートになってしまいますが、半径×半径は2

 

2×3.14÷8×2×2×2×2×2×2=50.24

 

16×16-50.24=205.76㎠(答)


大問3「論理パズル」

 

(1)

 

途中で6が出てくると、ちょうど1周して6自身に重なってしまいます。

 

よって、6が、最後に到達する整数です。

 

1+2+3+4+5+6=21、21÷6=3あまり3より、1の真向かいに並んでいる整数は6

 

(2)

 

途中で7が出てくると、ちょうど1周して7自身に重なってしまうので、7は最後。

 

ところが、そうだとすると、1+2+3+4+5+6=21、21÷7=3あまり0より、途中で1に重なってしまう。

 

よって、A=7のときは、できない。

 

(3)

 

1の次は、2、4、5、6の可能性があり、2を選んだ場合、3、4、7の可能性があり……と、場合分けをくり返します。

 

単純計算では6×5×4×3×2×1=720通りありそうにみえますが、やってみると、ダメな場合が続出し、実際は、そこまで多くはありません。

 

そうだとしても、膨大な作業量です。


大問4「立体パズル」

 

単純な体積の計算では、Xが1個、Yが7個ですが、形の融通がきかないので、そうはいきません。

 

他方、本だなに本を積むように、あたり前に詰め込んでも、Yは5個しか入りません。すき間だらけなのに……

 

そこで、Y6個があり得るのか、非常に悩みます。

 

ここで、問題文に、

 

「すべてのYの一部の面がこの図から見えるように実線を書きなさい」

 

とあります。

 

さらに、(2)で、平面AEGCで切断したときの、立体の個数が1通りに決まることに、注目します。

 

しかも、(3)では、体積が1㎤であるものの個数が、1通りに決まります。

 

これらを総合すると、Yの詰め方は、「点対称」なのではないか、ということが、推察されます。

 

どのような詰め方をしても、平面AEGCに対して、同じ位置関係でなければならないからです。

 

そして、頂点Bの小立方体がYに含まれると、点対称の関係にある頂点Hの小立方体も、Yに含まれなければなりませんが、これは、解答用紙の図から見えません。

 

よって、頂点BとHは、Xを配置するということが、わかります。

 

以上から、XとYの配置が決まり、X3個、Y6個となります。

 

頂点ACFとEDGがペアになり、右回り、左回り、2種類の配置が考えられますが、両者は対称的であり、(2)(3)の答えに、影響はありません。


対策

・「傾向」で述べた通り、レベルE以外の問題がすべて得点できれば、推定42点(合格者平均点は42.6)で、十分合格です。

 

大問1だけで制限時間を使い果たしても、合格した受験生が、続出しているはずです。

 

過去問演習の際には、あまりの難しさに圧倒されることなく、現実を冷静に見極めましょう。

 

ライバルは、入試問題ではありません。

 

自分と同じくらいの偏差値の、他の受験生たちです。

 

自分が大変なら、他の受験生も大変であると、自信を持ちましょう。

 

参考記事→出題傾向の「突然の変化」に備えて(タップ・クリック可能)

 

 

・2022年の特徴は、「場合の数」と「パズル」です。

 

これでもか、これでもかと、立て続けに出題されています。

 

このうち、合否を分けたのは、「場合の数」です。

 

「パズル」の方は、難し過ぎました。

 

2023年以降の対策として、「場合の数」「場合分け能力」については、十分、準備しておく必要があります。

 

 

「場合の数」では、どのような切り口で場合分けするかによって、数え上げの効率が全く変わってきます。

 

たとえば、本年度の大問1(4)では、

 

「ただし、回転すると同じものは、同じ塗り方とみなします」

 

となっています。

 

従って、やみくもに書き出すと、同じものを何回も数えて、後で気がつき、大混乱に陥ります。

 

それを防ぐには、どうすればよいでしょうか?

 

(4)(b)エの解説でご説明した場合分けは、ご参考になるかと思います。

 

では、

 

「回転、または、裏返して同じものは、同じ塗り方とみなします」

 

だとしたら、どうなるでしょう。

 

これは、「右回り、左回り」の対称性の問題になります。

 

右回りの時計を裏から見ると、あるいは鏡に映すと、左回りになっていますね。

 

本年度、大問4のXYの配置は、この問題を含んでいます。

 

さらに、サイコロの目の配置にも、右回り、左回りがあります。

 

向かい合う面の数の和が7、という条件を満たすサイコロが、2通りあります。

 

展開図を表裏、どちら向きに折って組み立てるか、という問題です。

  • なぜ、2通りあるのか?
  • なぜ、3通り以上ないのか?

考えてみると、駒東対策になります。

 

大問1(4)の立体版として、あるいは、大問4の関連問題として、サイコロ問題があるということを、ご指摘しておきます。

 

 

過去問は、姿、形を変えて、くり返します。

 

過去問の解法を理解するだけでなく、その先を一歩突っ込んで深掘りしてみると、次年度以降の受験にも、役立ちます。


この記事は、レッツ算数教室の室長が書いています



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