筑駒　算数　対策　２０２０年

筑駒・算数２０２０年度は、出題分野、難易度ともに、例年通りでした。

 

大問１は「場合の数」プラス「３段つるかめ」。

 

大問２は「場合の数」プラス「数の性質」。

 

大問３は「規則性」（タクシー料金）。

 

大問４は「平面図形」（面積）。

 

筑駒の過去問にヒントのある問題も出題されています。

 

「出題分野＆難易度マップ」を掲載致します。（難易度はレッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

 

大問４の（３）が難問ですが、それ以外は、時間さえかければ、誰でも解けます。

 

まともに解くと、膨大な時間がかかるところを、規則性や効率的な解法を見つけて、いかに素早く解くか？という競争です。（このあたり、いかにも筑駒風です）

 

では、どのような準備をしていれば、２０２０年度・筑駒に合格できたのでしょうか？

 

また、その中から、来年度以降にも役立つ対策を抽出すると、どうなるでしょうか？

 

ごいっしょに考えていきましょう。

 

（各問題の解法分析の後、ページの下の方に、対策まとめがあります。）

 

大問１

 

（１）（２）は、簡単すぎて拍子抜けしますが、今は、緊張が極限状態に達している、危険な時間帯です。

 

「いつもなら、当たり前にできることが、できないかもしれない」

 

という客観的自己分析のもと、慎重にクリヤーしましょう。

 

（３）ようやく、本題に入ります。

 

当然、（１）（２）が易しかった分も上乗せした難問です。

 

当然、覚悟はできていますよね。

 

もちろん、（３）をとばして、さっさと大問２へ進む「食い逃げ」もアリです（笑）。

 

食い逃げしないとすると、まず、47、97、147という半端な数を、どう平（たいら）にするか？

 

すべてに3を加えると、50、100、150となり、（２）とそろいます。（３段つるかめ）

 

すべてから47を引くと、0、50、100となり、（１）とそろいます。（２段つるかめ）

 

どちらで解いても大差ありませんが、結局「３段つるかめ」は「２段つるかめ」に持ち込むことになります。

 

「次元を下げて考える」という算数の発想法ですね。

 

よって、47引くことにしましょう。

 

すべて47円引きにするので、合計金額も、その分安くなります。

 

では、いくら安くなるかというと、

 

47円×（買った個数）

 

です。

 

でも、買った個数がわかりません。

 

ここで「１の位」に注目すると、すべて7円なので、何個買っても、代金の１の位は、7の倍数の1の位です。

 

1499円の1の位が9なので、買った個数は7個、17個、27個、37個……となります。

 

今度は、きりがありません。

 

そこで、範囲をしぼる必要が生じます。

 

最高価格147円×7個=1029円

 

最低価格47円×37個=1739円

 

なので、7個ではどうやっても1499円には届きません。

 

37個ではどうやっても1499円をオーバーしてしまいます。

 

よって、候補は17個、27個にしぼれます。

 

ここで、ようやく２段つるかめに持ち込めました。

 

17個の場合、値引き合計は

 

47×17=799円

 

代金合計は

 

1499-799= 700円

 

個数合計には、注意が必要です。

 

品物X、Y、Zをそれぞれ少なくとも１個は買い、合計17個ですから、50円の品物Yと100円の品物Zを、合計16個以下、少なくとも1個ずつは買い、代金合計は700円です。

 

（Y、Z）の組み合わせは、(2、6)　(4、5)　(6、4)　(8、3)　(10、2)　(12、1)の、6通り。

 

個数合計が27個の場合、代金合計は

 

1499-49×27=230円

 

となり、50円と100の組み合わせでは作ることができません。

 

答え、６通り

 

 

大問２

 

（１）練習（省略）

 

（２）ここで、「もとの数」の百の位、十の位、一の位、３つの数字のパターンと、「合計数」の関係を、まとめておきましょう。

 

「合計数」が999となるときは、

 

(A＋B＋C)×222=999（不適）

 

(A×2＋B)×111=999

A×2＋B=9……①

 

A×111=999

A=9……②

 

①のとき（A、B）の組み合わせは、(0、9)　(1、7)　(2、5)　(3、3)　(4、1)

 

このうち、100~199までの整数を作ることができるのは、数字の「１」を含むものだけ。

 

すなわち、(1、7)　(4、1)

 

並べ替えて、117、171、144

 

②のとき、「もとの数」は999となり、100～199に収まらず、不適。

 

答え、117、144、171

 

（３）

 

３つの数字がすべて異なるとき、

 

(A＋B＋C)×222＞2020

 

A＋B＋C≧10

 

1を含む異なる3つの数(ABC)の組み合わせは

 

(109)(127)(128)(129)(136)(137)(138)(139)(145)(146)(147)(148)(149)(156)(157)(158)(159)(167)(168)(169)(178)(179)(189)

 

の23通り。

 

10の位と1の位を入れ替えた整数が2個ずつ作れるので、「もとの数」は46個。

 

２つの数字が等しい時、

 

(A×2＋B)×111＞2020

 

A×2＋B ≧19

 

1を含む(AB)の組み合わせは(91)のみ。

 

よって、「もとの数」は199の１個。

 

46＋1=47

 

答え、47個

 

大問３

 

タクシー料金＝規則性の問題です。

 

（１）

 

練習。見慣れた数字替え問題です。全員が正解したかもしれません。

 

（２）

 

「時間に関する料金」は、めずらしいですね。

 

ここで、料金体系が「距離」と「時間」の２本立てになっている点を、どのように処理するか？

 

大問１では、「３段つるかめ」を「２段つるかめ」に改造しました。

 

「次元を下げる」

 

という発想です。

 

タクシー料金も、２本立ての料金体系を１本化できないか、考えます。

 

すると、このタクシーは「つねに時速42km」という条件が、目にとまります。

 

「3分80円」ということは、

 

42000m÷60×3=2100m

 

すなわち、2100mで80円加算、ということになります。

 

これで、料金体系を「距離」に１本化できました。

 

これで問題解決です。

 

本問も、正答率はきわめて高かったと推測します。

 

（３）

 

（２）で、7500mのとき2580円という結果が出ています。

 

これを利用しましょう。

 

(3700-2580)÷80=14

 

よって、あと14回加算。280mごとの加算が10回のとき、何m進み、2100mごとの加算がどうなっているか、調べます。（あとは簡単です）

 

おおよその見当をつけて、大づかみに計算で求め、最後の端数は、「根性書き出し」というのが、効率的です。

 

このあたり、筑駒・平成４年大問２はじめ、様々な過去問があるので、練習しておきましょう。

 

大問４

 

本問は、筑駒・平成１５年大問１の応用問題です。

 

向かい合う三角形の面積合計は、長方形の半分であることを知っていれば、話がはやいです。

 

最小アと最大エが向き合い、イとウが向き合い、「ア＋エ＝イ＋ウ＝長方形÷２」となります。

 

（１）

 

アの面積をアとし、面積の差を①とします。

 

イ＝ア＋①

ウ＝ア＋②

エ＝ア＋③

 

長方形の面積は２㎡なので、

 

ア×４＋⑥＝２㎡

 

1/6×4＋⑥＝２

 

①＝2/9　③＝2/3

 

エ＝1/6＋2/3＝5/6㎡

 

答え、5/6㎡

 

（２）

 

差の①＝1/6　

 

⑥＝1

 

ア＝(2ー1)÷4＝1/4

 

イ＝1/4＋1/6＝5/12

 

PQ＝5/12×2÷1＝5/6

 

PR＝1/6×2÷1＝1/3

 

QR＝5/6ー1/3＝1/2

 

答え、1/2m

 

（３）

 

「点Pとして考えられるすべての位置」と言われても、難しいです。

 

このような時は、「極端な場合」を考えて、おおよその見当をつけ、その後、その予想に論理的裏づけを与える、という、高等戦術を用います。

 

もう一度、４つの三角形の面積を整理します。

 

ア＝ア

イ＝ア＋①

ウ＝ア＋②

エ＝ア＋③

 

ア＋イ＋ウ＋エ＝２㎡

 

極端な場合１

 

①＝ゼロ

 

「差がない」というのは、問題文の条件に反しています。

 

「アイウエの面積はすべて異なる」と書いてあるからです。

 

でも、差が限りなくゼロに近づく時、点Pは、限りなく長方形のど真ん中（対角線の交点）に近づきます。

 

そこで、仮に、差がゼロの場合も含むとすれば、点Pは長方形のど真ん中にいます。

 

「問題文を、解きやすい形に、改造してしまう」

 

というワザを使うのです。

 

不都合は、あとで修正します。

 

極端な場合２

 

ア＝ゼロ

 

今度は、三角形PAB（ア）がどんどんつぶれ、限りなくペチャンコ（面積ゼロ）になった場面を、仮定します。

 

⑥＝２㎡なので、①＝1/3㎡

 

つまり、三角形PDA（イ）は、面積1/3㎡、底辺AD＝１mなので、高さは2/3mになります。

 

このとき、点Pは、AB上のAから2/3mの位置にあります。

 

（点Pが右側に寄っていれば、イは三角形PBCとなり、左右反対のことが起きます。）

 

さて、２つの極端な位置が見つかりました。ここで、

 

「はたして、これを直線で結んで良いものか？」

 

大いに悩みます。

 

本問は、２０２０年・筑駒算数の最後を飾る問題で、最も難しい問題です。

 

正答率も、きわめて低いと推測します。

 

時間がなければ（ほとんどの人はないでしょう）、

 

「えいやっ」

 

と運を天に任せて、直線で結んでしまえば、これが正解なのですから、笑いが止まりません。

 

（斜線部分は答えに含めないよう、白丸にしておきましょう）

 

当てカンの勝利となります。

 

本番に限って、これでOKです。

 

過去問演習で勉強中の人は、もう少し考えましょう。

 

まず、点Pが長方形のど真ん中にある場合、４つの三角形の面積は、当然、等しくなります。

 

ここから、左下（または右下）へ移動します。

 

どのように移動するかというと、

 

アとイの差がイとウの差に等しくなるように移動すればよい

 

ということになります。

 

ここで、ようやく（２）問題図の「斜線部分」のありがた味が、わかります。

 

これまで、

 

「（２）は、何か変な問題だな……」

 

と思っていたでしょう。

 

これは、

 

点Pが左へXm移動すると、イの面積がX×1÷2＝X/2㎡小さくなる（逆に、ウの面積はX/2㎡大きくなる）

 

というヒントを出していたのです。

 

ということは、

 

点Pが下へYm移動すると、アの面積はY×2÷2＝Ｙ㎡小さくなる

 

ということも、わかります。

 

つまり、

 

点Pが長方形の中心から、下へ３移動したら、左（または右）へ２移動すれば、条件をみたす

 

ということが、わかりました。

 

これで、先ほどの予想が正しいことが、証明されました。

 

他にも、

 

４つの三角形の底辺は、すべて１ｍまたは２ｍという「定数」なので、面積は１次式で表すことができ、点Pの軌跡は２次曲線にはならない

 

という「ズル技」もあります。 

 

最近は、高校数学まで勉強している小学生が、ほんの一部いるので、ご参考までに。

 

 

対策まとめ

 

ページ冒頭の難易度表からも明らかですが、小問ごとの難易度に、大きな開きがあります。

 

難問や、作業量の多い問題は保留にして、取れるところからとっていきましょう。

 

また、算数の発想法（タップ・クリックできます）が、あちこちで有効です。

• 次元を下げて考える
• 極端な場合を考える
• 大体の予想を立ててから、論理的裏づけを考える
• 問題文を自分に都合のよい形（解きやすい形）に改造する

など、色々出てきました。

 

解法暗記に走ることなく、これらの発想法を身につけ、自分で考えられるように、勉強しましょう。