筑駒 算数 対策 2020年


NEW! 筑駒の算数(最新版)

傾向

筑駒・算数2020年度は、出題分野、難易度ともに、例年通りでした。

 

大問1は「場合の数」プラス「3段つるかめ」。

 

大問2は「場合の数」プラス「数の性質」。

 

大問3は「規則性」(タクシー料金)。

 

大問4は「平面図形」(面積)。

 

筑駒の過去問にヒントのある問題も出題されています。

 

「出題分野&難易度マップ」を掲載致します。(難易度はレッツ算数教室の分析によります)

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

   出題分野&難易度マップ
大問1    
(1) 場合の数 B
(2) 場合の数 B
(3) 場合の数 E
大問2    
(1) ルール指定・場合分け B
(2) ルール指定・場合分け E
(3) ルール指定・場合分け E
大問3    
(1) 規則性 C
(2) 規則性 C
(3) 規則性 D
大問4    
(1) 平面図形 C
(2) 平面図形 D
(3) 平面図形 E

 

大問4の(3)が難問ですが、それ以外は、時間さえかければ、誰でも解けます。

 

まともに解くと、膨大な時間がかかるところを、規則性や効率的な解法を見つけて、いかに素早く解くか?という競争です。(このあたり、いかにも筑駒風です)

 

対策

では、どのような準備をしていれば、2020年度・筑駒に合格できたのでしょうか?

 

また、その中から、来年度以降にも役立つ対策を抽出すると、どうなるでしょうか?

 

ごいっしょに考えていきましょう。

 

(各問題の解法分析の後、ページの下の方に、対策まとめがあります。)

 

大問1

 

(1)(2)は、簡単すぎて拍子抜けしますが、今は、緊張が極限状態に達している、危険な時間帯です。

 

「いつもなら、当たり前にできることが、できないかもしれない」

 

という客観的自己分析のもと、慎重にクリヤーしましょう。

 

(3)ようやく、本題に入ります。

 

当然、(1)(2)が易しかった分も上乗せした難問です。

 

当然、覚悟はできていますよね。

 

もちろん、(3)をとばして、さっさと大問2へ進む「食い逃げ」もアリです(笑)。

 

食い逃げしないとすると、まず、47、97、147という半端な数を、どう平(たいら)にするか?

 

すべてに3を加えると、50、100、150となり、(2)とそろいます。(3段つるかめ)

 

すべてから47を引くと、0、50、100となり、(1)とそろいます。(2段つるかめ)

 

どちらで解いても大差ありませんが、結局「3段つるかめ」は「2段つるかめ」に持ち込むことになります。

 

次元を下げて考える」という算数の発想法ですね。

 

よって、47引くことにしましょう。

 

すべて47円引きにするので、合計金額も、その分安くなります。

 

では、いくら安くなるかというと、

 

47円×(買った個数)

 

です。

 

でも、買った個数がわかりません。

 

ここで「1の位」に注目すると、すべて7円なので、何個買っても、代金の1の位は、7の倍数の1の位です。

 

1499円の1の位が9なので、買った個数は7個、17個、27個、37個……となります。

 

今度は、きりがありません。

 

そこで、範囲をしぼる必要が生じます。

 

最高価格147円×7個=1029円

 

最低価格47円×37個=1739円

 

なので、7個ではどうやっても1499円には届きません。

 

37個ではどうやっても1499円をオーバーしてしまいます。

 

よって、候補は17個、27個にしぼれます。

 

ここで、ようやく2段つるかめに持ち込めました。

 

17個の場合、値引き合計は

 

47×17=799円

 

代金合計は

 

1499-799= 700円

 

個数合計には、注意が必要です。

 

品物X、Y、Zをそれぞれ少なくとも1個は買い、合計17個ですから、50円の品物Yと100円の品物Zを、合計16個以下、少なくとも1個ずつは買い、代金合計は700円です。

 

(Y、Z)の組み合わせは、(2、6) (4、5) (6、4) (8、3) (10、2) (12、1)の、6通り。

 

個数合計が27個の場合、代金合計は

 

1499-49×27=230円

 

となり、50円と100の組み合わせでは作ることができません。

 

答え、6通り

 

 

大問2

 

(1)練習(省略)

 

(2)ここで、「もとの数」の百の位、十の位、一の位、3つの数字のパターンと、「合計数」の関係を、まとめておきましょう。

 

3つの数字がすべて異なるとき
 ABC 
+ACB
+BAC
+BCA
+CAB
+CBA

合計(A+B+C)×2×(100+10+1)

=(A+B+C)×222

 
2つの数字が等しいとき
 AAB 
+ABA
+BAA
合計(A×2+B)×(100+10+1)=(A×2+B)×111
 
すべての数字が等しいとき
AAA=A×(100+10+1)=A×111 
 

「合計数」が999となるときは、

 

(A+B+C)×222=999(不適)

 

(A×2+B)×111=999

A×2+B=9……①

 

A×111=999

A=9……②

 

①のとき(A、B)の組み合わせは、(0、9) (1、7) (2、5) (3、3) (4、1)

 

このうち、100~199までの整数を作ることができるのは、数字の「1」を含むものだけ。

 

すなわち、(1、7) (4、1)

 

並べ替えて、117、171、144

 

②のとき、「もとの数」は999となり、100~199に収まらず、不適。

 

答え、117、144、171

 

(3)

 

3つの数字がすべて異なるとき、

 

(A+B+C)×222>2020

 

A+B+C≧10

 

1を含む異なる3つの数(ABC)の組み合わせは

 

(109)(127)(128)(129)(136)(137)(138)(139)(145)(146)(147)(148)(149)(156)(157)(158)(159)(167)(168)(169)(178)(179)(189)

 

の23通り。

 

10の位と1の位を入れ替えた整数が2個ずつ作れるので、「もとの数」は46個。

 

2つの数字が等しい時、

 

(A×2+B)×111>2020

 

A×2+B ≧19

 

1を含む(AB)の組み合わせは(91)のみ。

 

よって、「もとの数」は199の1個。

 

46+1=47

 

答え、47個

 

大問3

 

タクシー料金=規則性の問題です。

 

(1)

 

練習。見慣れた数字替え問題です。全員が正解したかもしれません。

 

(2)

 

「時間に関する料金」は、めずらしいですね。

 

ここで、料金体系が「距離」と「時間」の2本立てになっている点を、どのように処理するか?

 

大問1では、「3段つるかめ」を「2段つるかめ」に改造しました。

 

「次元を下げる」

 

という発想です。

 

タクシー料金も、2本立ての料金体系を1本化できないか、考えます。

 

すると、このタクシーは「つねに時速42km」という条件が、目にとまります。

 

「3分80円」ということは、

 

42000m÷60×3=2100m

 

すなわち、2100mで80円加算、ということになります。

 

これで、料金体系を「距離」に1本化できました。

 

これで問題解決です。

 

本問も、正答率はきわめて高かったと推測します。

 

(3)

 

(2)で、7500mのとき2580円という結果が出ています。

 

これを利用しましょう。

 

(3700-2580)÷80=14

 

よって、あと14回加算。280mごとの加算が10回のとき、何m進み、2100mごとの加算がどうなっているか、調べます。(あとは簡単です)

 

おおよその見当をつけて、大づかみに計算で求め、最後の端数は、「根性書き出し」というのが、効率的です。

 

このあたり、筑駒・平成4年大問2はじめ、様々な過去問があるので、練習しておきましょう。

 

大問4

 

本問は、筑駒・平成15年大問1の応用問題です。

 

向かい合う三角形の面積合計は、長方形の半分であることを知っていれば、話がはやいです。

 

最小アと最大エが向き合い、イとウが向き合い、「ア+エ=イ+ウ=長方形÷2」となります。

 

(1)

 

アの面積をアとし、面積の差を①とします。

 

イ=ア+①

ウ=ア+②

エ=ア+③

 

長方形の面積は2㎡なので、

 

ア×4+⑥=2㎡

 

1/6×4+⑥=2

 

①=2/9 ③=2/3

 

エ=1/6+2/3=5/6㎡

 

答え、5/6㎡

 

(2)

 

差の①=1/6 

 

⑥=1

 

ア=(2ー1)÷4=1/4

 

イ=1/4+1/6=5/12

 

PQ=5/12×2÷1=5/6

 

PR=1/6×2÷1=1/3

 

QR=5/6ー1/3=1/2

 

答え、1/2m

 

(3)

 

「点Pとして考えられるすべての位置」と言われても、難しいです。

 

このような時は、「極端な場合」を考えて、おおよその見当をつけ、その後、その予想に論理的裏づけを与える、という、高等戦術を用います。

 

もう一度、4つの三角形の面積を整理します。

 

ア=ア

イ=ア+①

ウ=ア+②

エ=ア+③

 

ア+イ+ウ+エ=2㎡

 

極端な場合1

 

①=ゼロ

 

「差がない」というのは、問題文の条件に反しています。

 

「アイウエの面積はすべて異なる」と書いてあるからです。

 

でも、差が限りなくゼロに近づく時、点Pは、限りなく長方形のど真ん中(対角線の交点)に近づきます。

 

そこで、仮に、差がゼロの場合も含むとすれば、点Pは長方形のど真ん中にいます。

 

「問題文を、解きやすい形に、改造してしまう」

 

というワザを使うのです。

 

不都合は、あとで修正します。

 

極端な場合2

 

ア=ゼロ

 

今度は、三角形PAB(ア)がどんどんつぶれ、限りなくペチャンコ(面積ゼロ)になった場面を、仮定します。

 

⑥=2㎡なので、①=1/3㎡

 

つまり、三角形PDA(イ)は、面積1/3㎡、底辺AD=1mなので、高さは2/3mになります。

 

このとき、点Pは、AB上のAから2/3mの位置にあります。

 

(点Pが右側に寄っていれば、イは三角形PBCとなり、左右反対のことが起きます。)

 

さて、2つの極端な位置が見つかりました。ここで、

 

「はたして、これを直線で結んで良いものか?」

 

大いに悩みます。

 

本問は、2020年・筑駒算数の最後を飾る問題で、最も難しい問題です。

 

正答率も、きわめて低いと推測します。

 

時間がなければ(ほとんどの人はないでしょう)、

 

「えいやっ」

 

と運を天に任せて、直線で結んでしまえば、これが正解なのですから、笑いが止まりません。

 

(斜線部分は答えに含めないよう、白丸にしておきましょう)

 

当てカンの勝利となります。

 

本番に限って、これでOKです。

 

過去問演習で勉強中の人は、もう少し考えましょう。

 

まず、点Pが長方形のど真ん中にある場合、4つの三角形の面積は、当然、等しくなります。

 

ここから、左下(または右下)へ移動します。

 

どのように移動するかというと、

 

アとイの差がイとウの差に等しくなるように移動すればよい

 

ということになります。

 

ここで、ようやく(2)問題図の「斜線部分」のありがた味が、わかります。

 

これまで、

 

「(2)は、何か変な問題だな……」

 

と思っていたでしょう。

 

これは、

 

点Pが左へXm移動すると、イの面積がX×1÷2=X/2㎡小さくなる(逆に、ウの面積はX/2㎡大きくなる)

 

というヒントを出していたのです。

 

ということは、

 

点Pが下へYm移動すると、アの面積はY×2÷2=Y㎡小さくなる

 

ということも、わかります。

 

ウーイ=イーア
ウの増分+イの減分=アの減分-イの減分 
X/2+x/2=Y-X/2

Y=(X/2)×3

X:Y=2:3

 

つまり、

 

点Pが長方形の中心から、下へ3移動したら、左(または右)へ2移動すれば、条件をみたす

 

ということが、わかりました。

 

これで、先ほどの予想が正しいことが、証明されました。

 

他にも、

 

4つの三角形の底辺は、すべて1mまたは2mという「定数」なので、面積は1次式で表すことができ、点Pの軌跡は2次曲線にはならない

 

という「ズル技」もあります。 

 

最近は、高校数学まで勉強している小学生が、ほんの一部いるので、ご参考までに。

 

 

対策まとめ

 

ページ冒頭の難易度表からも明らかですが、小問ごとの難易度に、大きな開きがあります。

 

難問や、作業量の多い問題は保留にして、取れるところからとっていきましょう。

 

また、算数の発想法(タップ・クリックできます)が、あちこちで有効です。

  • 次元を下げて考える
  • 極端な場合を考える
  • 大体の予想を立ててから、論理的裏づけを考える
  • 問題文を自分に都合のよい形(解きやすい形)に改造する

など、色々出てきました。

 

解法暗記に走ることなく、これらの発想法を身につけ、自分で考えられるように、勉強しましょう。

 



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