麻布中学の算数　傾向と対策

麻布中学の算数は、ここ１０年の間に、様相が一変しました。２０２０年の大学入試改革に対応するためであることは、言うまでもありません。

 

出題傾向が大きく変化したのは、２０１７年です。

 

それまでの麻布・算数は、出題分野が明確な問題がほとんどでした。「この問題は、規則性」「この問題は数の性質」といった具合です。

 

ところが、２０１７年以降、分類不能の「融合問題」が激増します。

 

「この問題には、規則性の要素と、数の性質の要素と、場合の数の要素が混ざり合っていて、どれか１つの分野に分類するのは、あまりにも不適切である」

 

という問題です。

 

塾のテキストにも類似問題が見当たらず、一体どこから切り込んでいけば良いのか、手がかりがなかなか見つかりません。

 

「融合問題」を解くのに必要なものは、主に「場合分け能力」と「規則性発見能力（パターン認識能力」です。

 

２０１８年には、この２つの能力を必要とする問題が、６０点満点中、５４点（９０％）を占めるに至り、最新傾向はピークに達しました。

 

その後、多少の揺り戻しや、２０２０年・春の学校長期休校に伴う、出題傾向の調整などがありました。

 

しかし、最新傾向の意味するところを解明し、理解すれば、この流れが一時的なものではなく、国を挙げての長期的な教育方針の一環であることが、浮かび上がってきます。

 

そして、日頃から正しい勉強を積んでいれば、最新傾向の問題であっても、塾のテキストで勉強している問題をもとにして、十分に対応できることも、わかってきます。

 

麻布中学の受験生の皆様には、状況を正確に認識し、ぜひ、迷うことなく、日々の勉強に励んでいただけるよう、願っております。

 

 

まず、出題分野が、この１０年でどのように変化しているか、前期（２０１２年～１６年）と後期（２０１７年～２０２１年）に分けて、見ていきましょう。

 

表中の数字は、配点比率を表しています。（配点はレッツ算数教室の推定です）

 

出題分野の分類は、業界標準に従って、とりあえず「形式的」に行っています。その不都合性については、後ほど検討します。

 

 

全年（１０年間）を通して、出題の多かった順番に並べています。

1. 「数の性質」18%
2. 「速さ」17%
3. 「平面図形」17%
4. 「規則性」16%

となっています。

 

分析結果１：「規則性」が9%減少して、入れ替わりに、「数の性質」が10%増加している。

 

分析結果２：以前は29%と頻出分野だった立体図形が、ほとんど出題されなくなった。

 

分析結果３：「場合の数」は10%程度で、それほど変化していない。（これが、実質と大きく乖離していることを、後ほどくわしくご説明します。）

 

従来通りの「形式的」な出題分野・分析表によると、この程度の傾向変化しか、見て取れません。

 

それでも、分析結果１の方は、重要です。

 

前期までの「規則性の問題」というのは、等差数列のように、一目見て「規則性」に分類できる問題や、「周期算」のように、最小公倍数が問題になっていることが一瞬でわかる問題がほとんどです。（２０１２年大問２、２０１４年大問５など）

 

ところが、後期になると、このような単純な「規則性の問題」は減少し、入れ替わりに、「数の性質」の中で、隠れた規則性を発見して解くという「融合問題」が現れたのです。（２０１７年大問６、２０１８年大問６など）

 

これら「融合問題」は、形式的には「数の性質」に分類されますが、実質的には、「規則性発見能力」を必要とし、さらには、規則性を発見するのに、「場合分け能力」が必要だったりします。

 

つまり、様々な能力を統合する問題であり、難易度が一気にはね上がります。

 

「最近の麻布・算数は、難化した」

 

という印象の、最大の理由がここにあります。

 

 

次に、それぞれの出題分野の内部で、どの程度の難易度の問題が、どのくらいの比率で出題されているのかを、調べてみます。

 

レッツ算数教室では、難易度を６段階で評価しています。Aが最も易しく、BCDEFの順に難しくなっていきます。

 

ここでは、C以下、D、E以上の３段階で分類します。

• C以下は麻布の受験生であれば、当然解ける問題
• Dは、合否を分ける問題
• EFは捨て問

ぐらいのイメージです。

 

 

難易度は、出題分野と異なり、実質をそのまま反映するので、前期と後期の傾向変化が、きれいに表れました。

 

分析結果１：立体図形を除くすべての分野で、難易度Dの問題が減少し、難易度E以上の問題が増加している。

 

分析結果２：その結果、難易度は、C以下の易しい問題と、E以上の難問とに、２極化する傾向にある。

 

分析結果３：２極化が最も進んでいるのが、「数の性質」「規則性」「場合の数」である。この３分野のD問題は、それぞれ7%、0%、0%である。

 

つまり、従来、「合否を分ける問題」と言われていた中間レベルの問題が減少し、易しい問題と、捨て問レベルの難問が増加したわけです。

 

その最も象徴的な例が「数の性質（整数問題）」の形をとる「融合問題」で、実質的に「場合分け能力」と、「規則性発見能力」を求められる問題です。

 

「規則性の問題」や「場合の数」の問題も、難問が増加しているということは、近年の麻布がこの分野を重視していることの表れです。

 

このように、ここ５年間ほどの麻布・算数の出題傾向は、形式的な出題分野・分析表だけでは表現できません。

 

「問題を解くにあたって、必要な思考力」すなわち、「算数的な考え方」「算数の発想法」という実質的な視点を加味する、新たな枠組みを用いる必要があります。

 

その際、最新傾向の融合問題で最も重要な「場合分け能力」「規則性発見能力（パターン認識能力）」を、従来の「場合の数」「規則性」の問題と明確に区別して、抽出する必要があります。

 

そこで、「縦軸」を「出題分野」、「横軸」を「算数の発想法」として、次のような枠組みを考えます。

 

 

縦軸の出題分野とは、たとえて言うならば、かまぼこの「原材料」です。（魚、でん粉、食塩）です。

 

横軸の「算数の発想法」とは、かまぼこの「栄養成分」にあたります。（タンパク質、炭水化物、ナトリウム）です。

 

「規則性の問題」には、「規則性発見能力」という栄養成分が豊富に含まれていますが、両者は別物です。

 

「場合の数」には「場合分け能力」という栄養成分が豊富に含まれていますが、両者は別物です。

 

そして、麻布の「数の性質」の問題には、「素因数分解」「最小公倍数」をはじめとする知識とは別に、「場合分け能力」「規則性発見能力」という栄養成分が、豊富に含まれています。

 

このように、新たな枠組みの下で分析を行えば、形式的な出題分野・分析表では陰に隠れて見落とされていた重要な出題傾向を、あぶり出すことができます。

 

さて、ここまで、麻布の最新傾向を分析する際に、従来の形式的な出題分野・分析表が十分ではなく、実質的な視点、すなわち「算数の発想法」を加味することが必要である、ということを、くり返しご説明してきました。

 

分野別対策に入る前に、そもそもなぜ、麻布の出題傾向がこのように変化したのか？その意味を考察しておきましょう。

 

それによって、分野別対策を、より実効性のあるものとすることができます。

 

 

２０２０年の大学センター試験廃止は、「暗記勉強の廃止」を意味しています。これからの時代、知識の記憶はコンピューターに任せ、人間は思考力が必要な分野を担う、というわけです。

 

「思考力重視」の入試問題の典型例が、東京大学の数学入試問題です。

 

東大・数学では、塾・予備校のテキストや、学習参考書に掲載されているような問題（定型的な問題）は、あまり出題されません。

 

「見たことのない問題」すなわち、非定型的な問題が出題されます。

 

塾・予備校で解法を教わったのでは、たとえ「理解」していたとしても、自ら解法を編み出す能力（創造性）まで保証されるわけではないからです。

 

そこで、出題は非定型的な問題を中心とし、必要な知識は基本的なものに限定されています。

 

その結果、「縦軸」の出題分野としては、少ない知識量で多くのことを考えられる「整数問題」が重視され、「横軸」の数学的な考え方としては、「場合分け能力」が重視されることになります。

 

 

この出題傾向を麻布・算数にあてはめると、以下のようになります。

 

塾のテキストに掲載されている問題（定型的な問題）を出題したのでは、たとえ、解法を理解していたとしても、自分で解法を編み出す能力（創造性）まで保証されるものではない。

 

そこで、「見たことのない問題（非定型的な問題）」を出題する必要がある。

 

そのためには、従来の出題分野の枠組みを取り払い、分野横断的な「融合問題」を出題すべきである。

 

出題の原材料（縦軸）としては、少ない知識量で多くのことを考えられる「数の性質（整数問題）」が適している。

 

そこで用いられる「算数の発想法」（横軸）としては、「場合分け能力」「規則性発見能力」が、重要である。

 

これが、麻布・算数の最新傾向です。

 

「場合分け能力」「規則性発見能力」は、それぞれ「場合の数」「規則性」の問題に豊富に含まれていますが、それだけではありません。

 

「図形問題」に「規則性発見能力」が含まれていることもあれば、「割合」の問題に「場合分け能力」が含まれていることもあります。

 

そして、大切なのは、

• 見たことのない入試問題を目の前にして、その問題が解けるか？
• すなわち、横軸「算数の発想法」を、どのくらい身につけているか？

ということになります。

 

よって、日々の勉強は、取り組んだ問題（原材料）の解法を「理解」「記憶」するだけでは不十分です。

 

その問題から、「算数の発想法」という栄養成分を抽出・吸収して、脳内に蓄えていくことが、重要です。

 

以上のことを踏まえて、分野別対策に移りましょう。

 

 

まず、現在最も重要な「融合問題」の対策からです。

 

あえて従来の出題分野で言うと、「数の性質」「場合の数」「規則性」です。

 

最近５年間で、「数の性質」の知識と「場合分け能力」「規則性発見能力」を必要とする問題が、どのくらいの割合を占めているか、まとめてみました。（配点/満点60）

 

 

実質的に、この３分野だけで、５年間平均７１％の出題となっています。

 

形式的な出題分野・分析表では隠れていた真実が、あぶり出された結果です。

 

とりわけ注目すべきは、２０２１年度です。

 

２０２０年春に、学校が長期休校となり、出題範囲が基本的知識に制限された２０２１年入試。

 

そこで麻布の先生方が選択なさった問題が「数の性質」「規則性」「場合分け」である、という事実は、今後の出題傾向を暗示しています。

 

それでは、これらの問題に対処するために、どのような勉強をすればよいのでしょうか？

 

「数の性質」の知識で最も重要なのは、「素因数分解」と、そこから派生する「最小公倍数」「最大公約数」「互いに素」といった概念です。

 

もし、素因数分解と最小公倍数にどのような関係があるのか、説明できないのであれば、根本的な理解が不十分なので、基本から復習しましょう。

 

もっとも、麻布の受験生であれば、そのくらいは理解できていて当然でしょう。

 

問題なのは、そこから先。

 

見たことのない問題の解法を自分で思いつく能力＝算数の発想法をどのように身につけるかです。

 

２０１７年大問６を例にとって考えましょう。

 

本問は整数問題の難問です。

• ８ケタの整数ABCDABCDをABCD×10001に分解できるか？
• さらに10001と292の公約数を探せばよい、という点に気づくか？

が、ポイントです。

 

これは、

 

2002=2×7×11×13

 

という、有名な素因数分解がヒントになります。

 

2002年度の入試問題として、全国で大量生産されましたから、塾のテキストのどこかで経験しているはずです。

 

その時、1001は、7や11や13の倍数であることに、気づきます。

 

３の倍数や４の倍数の性質は有名なのに、７の倍数の性質は教わっていない。知りたい！と、日頃考えていると、この素因数分解を面白いと思うはずです。（ここがポイント！）

 

そこで、試しに1001をABC倍してみると、それらが６ケタの整数ABCABCの形になることを発見するかもしれません。

 

そして、整数ABCABCは、７や１１や１３の倍数である、という結論が得られます。（規則性の発見）

 

すると、８ケタの整数ABCDABCDを見た時にも、ABCD×10001に分解して、さらに10001を素因数分解してみるか、という発想が出てきます。

 

このような、ちょっとしたムダに見える勉強が、２０１７年大問６のような難問を解く際に、役に立ちます。

 

まとめると、日頃解いている、定型的な問題（どこにでもある、見たことのある問題）の中から、他の問題にも転用できる発想法（栄養成分）を吸収できているか？ということが、重要なのです。

 

麻布の速さの問題は、比較的、最新傾向の影響を受けていません。

 

出題分野別・配点比率は安定していますし、難易度別でもDレベル（中間レベル）の問題が依然として出題されています。

 

よって、「速さと比」のオーソドックスな勉強をしていれば、対応できるでしょう。

 

ただし、２０２０年大問６のような、「速さ」と「数の性質」の融合問題もありますから、油断は禁物です。

 

「速さと比」の「比」が整数で表されることから、整数問題と結びついたのです。

 

「比」が整数問題と結びつきやすい、相性が良い、共通部分がある、ということを押さえておきましょう。

 

 

麻布の平面図形は、従来から最新傾向に一致していました。

 

よって、傾向に変化はありません。

 

出題分野別・配点比率は安定していますし、難易度Dレベル（中間レベル）の問題は、従来から少なく、要するに、難しかったわけです。

 

この分野の対策は、「対称性」という算数の発想法を使いこなせるようにすることが、重要です。

 

たとえば、正三角形、正方形、正六角形などは、それぞれの頂点、角でおきた現象が、すべての頂点、角でもおきます。

 

あるいは、円や正五角形は、線対称な図形で、左右で同じ現象がおきます。

 

このような性質を「対称性」と言いますが、これを上手に利用すると解ける問題が、多数出題されています。（２０２０年大問２、大問５など）

 

 

出題数が少ないので、統計的な意味はあまりありませんが、それなりにオーソドックスな出題です。

 

ただし、２０２０年大問４の「食塩水問題」は、「論理・推理」「場合分け」の要素があり、最新傾向とも言えます。

 

本問の特徴は、食塩水AとBのどちらが濃いのか、初めは伏せてあるという点です。

 

ここは、「場合分け」による推理となります。

 

この問題は「見たことのない問題」に含めても良いと思いますが、解法の思いつき方は、使い古された「差集め算」にあります。

 

「AとBを合わせて□個買う予定でしたが、個数を逆にしたら△円あまりました」

 

というタイプ。「取り違えの差集め算」と呼ばれている問題です。

 

この差集め算は、AとBのどちらを多く買う予定だったのかが、伏せられています。

 

そこで「場合分け」！

 

「仮にAを多く買う予定だったとすると……」と考えて解いていくのが本来の解法です。

 

ところが、この「場合分けした上で、仮定して考える」という発想法が難しいため、塾は仮定しなくても自動的に解ける解法を発明、奨励しました。

 

そうすると、麻布２０２０年大問４を解くのは、厳しくなります。

 

やはり、「取り違えの差集め算」の勉強をする際、「場合分けする」「仮定して考える」という「算数の発想法」を、きちんと吸収しておくべきなのです。

 

形式的な出題分野・分析表では、本問に「取り違えの差集め算」の発想が含まれていることは、まったく表れません。直接、出題されてはいないからです。

 

でも、「算数の発想法」という形で、「横軸」から間接的に出題されていることを、見逃してはいけません。

 

間接的に出題されている、あるいは出題される可能性のある「算数の発想法」を見抜き、塾のテキストに掲載されている問題の中から、その栄養成分を吸収すること。

 

これが対策として、重要です。

 

 

麻布の算数の最新傾向と、その対策について、ご説明してきました。

 

最大のポイントは、見たことのない「融合問題」対策です。

 

難しければ、捨て問にすれば良い、というのも、一つの方法です。捨て過ぎて、不合格にならなければ……の話ですが。

 

ただ、難易度が中間レベルの問題が減少し、難問が増加している中、捨て問に頼り過ぎるのは危険ですし、何より時代の流れに逆らっています。

 

このような対策は、やがて破綻するでしょう。

 

難問が増加しているわりには、合格最低点が下がっていません。受験生が、徐々に対応しているのです。

 

 

その融合問題対策ですが、最終的には６年生９月からの「志望校別特訓」（アウトプットの練習）に委ねられます。

 

でも、それまでの間、３年生、４年生からの日々の学習（インプット）が、それ以上に大切です。

 

融合問題の難問を解くための「算数的な考え方」「算数の発想法」は、６年生夏期講習までの「定型的な問題」を勉強する中で、養われます。

 

多くの人に愛され、使い古された「定型的な問題」の方が、先人たちのセンスの良い知恵、発想法が詰まっているとさえ言えます。

 

手の込んだ難問に挑戦するのも良いのですが、まずは足元の基本的な問題から、必要な栄養成分を吸収できているか？

 

ここから点検して、日々の勉強に励んでいただきたいと思います。