慶應中等部　算数　対策　２０２０年

１、概要

 

慶應中等部２０２０年算数は、例年通りの出題傾向、難易度でした。

 

前半は基本的な問題が続き、後半に難しい問題が散見されます。

 

（１）出題分野

 

小問単位で全２０問と、出題数が多く、従って、出題範囲も広い範囲に及んでいます。

 

「平面図形」「立体図形」「規則性」「速さ」「比」「場合の数」「数の性質」など、まんべんなく出題されています。

 

（２）難易度

 

大問１～３には、定番問題がそのまま出題されています。

 

中等部の受験生であれば、多くの人が正解できるであろう問題、という意味で、易しい問題に分類しています。

 

ただし、初めて出題されたときは捨て問だった、という「かつての難問」が並んでいます。

 

たとえば、大問２（２）「約数の和」は、高校数学で公式を勉強する問題ですし、大問３（１）「チェバの定理」も、中学～高校の数学です。大問３（２）（３）も、現在は有名な定番問題ですが、かつて他の難関校で出題されたときは、難問でした。

 

きちんと勉強していれば得点できる、ということであって、ただ易しいだけではない点、注意が必要です。

 

「出題分野＆難易度マップ」を掲載致します。（難易度はレッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

 

それでは、順に見ていきましょう。

 

２、各論（大問１～７）

 

大問１

 

（１）（２）「計算問題」

 

割り算が割り切れるか、見た目ではわかりません。分数にすると、通分が大変そうで、迷うところです。

 

8881-8300=581として、581÷83＝7を確認してから割れば、安心です。

 

何も考えずにさっさと割れば、結果オーライです。

 

（３）「数の性質」

 

（４）「場合の数」

 

本問には裏技があって、(5+1)×(3+1)×(4+1)-1=119で求められます。

 

これは、「約数の個数」を求める公式（高校数学）を転用したもので、大問２（２）「約数の和」の公式と対になっています。

 

大問２

 

（１）「速さ・通過算」

 

定番問題です。

 

（２）「数の性質・約数の和」

 

公式をそのまま適用します。

 

（３）「速さと比」

 

定番問題です。

 

（４）「比」

 

B=A×(3/4)

B=C×(7/8)

 

あとは、連比です。

 

大問３

 

（１）「平面図形と比」

 

チェバの定理です。中学受験では、定理をそのまま適用することなく、長さの比を面積比におきかえて処理するのが、一般的です。

 

（２）「平面図形・角度」

 

右下の14度の直角三角形を切りとって、正方形の左の辺に貼り付けると、合同な三角形ができます。

 

これを利用します。

 

初めて出題されたときは、あっと驚く難問でしたが、今ではすっかり有名になりました。

 

（４）「立体図形・回転体」

 

計算が少々大変ですが、理論的には簡単です。円すい台の側面積の求め方は、混乱しやすいので、よく練習しておきましょう。

 

大問４「水そうグラフ」

 

（１）は、グラフの傾きの比から、すぐわかります。

 

（２）は難問です。ここで突然難しくなったと感じるはずです。

 

「毎分50」と「毎分80」だと、満水までの時間の比は8:5になるので、「毎分80」のときにかかる時間は70×(5/8)=175/4分となります。

 

本問は、数字が分数になるので、自分の解き方が正しいかどうか確信が持てない、厳しい問題です。

 

中等部では、このように、ある時突然、段違いの難問が現れます。

 

そこで、本問を捨てるか否か、判断することになります。

 

年度によっては、ひとたび難問が現れると、その後は最後まで全て難問、という場合もあるので、難しいところです。

 

本年度は、まだ残りが大問３問なので、それらが全て難問、捨て問とは考えにくく、とりあえず大問４（２）は後回しにするのが、賢明かもしれません。

 

大問５「規則性」

 

分母が等しい分数によって、グループ分けします。

 

グループごとの分数の和が、等差数列になっています。

 

本問も、定番問題です。

 

グループ番号とグループ内の分数の個数は一致しますが、分母の数字は１ズレる点に注意が必要です。

 

大問６「立体図形」

 

（１）は、図１で見えない部分が、全て黒、全て白で考えます。

 

（２）

 

白黒それぞれの個数は、つるかめ算で求められます。

 

あとは、黒をどこに配置するかです。

• 大立方体の頂点部分の小立方体は、３面が見えます。
• 大立方体の辺上の小立方体は、２面が見えます。
• 大立方体の面上の小立方体は、１面が見えます。
• 大立方体の内部の小立方体は、見えません。（０面）

以上から、黒の面積を小さくしたければ、黒を０面、１面……の部分に配置すればよく、大きくしたければ、３面、２面……の部分に配置すればよいことがわかります。

 

大問７「組み合わせ」

 

（１）シュークリーム５個のセットだと、１個あたり１６０円。そこで、シュークリーム２個プリン２個のセットでも、シュークリーム１個あたりは１６０円だとすると、プリン１個は１６５円と、とても安いことになります。

 

そこで、プリン５個のうち、４個は、シュークリームとの２個ずつのセットで調達して、残り１個は、プリン単品で買うことにします。

 

残りのお金は、できる限りシュークリーム５個のセットに使います。

 

（２）ア

 

プリンをできるだけ多く買うには、プリン６個のセットを利用すべきなので、可能な限り、プリン６個のセットを買うと、８セットで、４００円あまります。ここまで、プリン４８個。

 

残りの４００円で、シュークリームとプリンを単品で１個ずつ買うと、ちょうど５０個で１００００円。

 

プリンは４９個買えます。

 

（２）イ

 

アと同じ発想で、可能な限りシュークリーム５個のセットを利用すると、６０個買えるうえに、４００円あまります。

 

今回は割高にしないと、問題文の条件が満たせない、ということで、シュークリームを単品で５０個買うとどうなるか試してみると、それでも１０００円あまります。

 

シュークリーム１個をプリン１個と交換すると、４０円高くなるので、１０００÷４０＝２５個プリンを買い、シュークリームは、残り２５個です。

 

この買い方だと、すべて単品買いで、個数、金額とも条件通りですが、セットを利用して、シュークリームを増やすことはできないでしょうか？

 

単品のプリンを何個か買うのをやめて、同数、同金額のシュークリームに変更することは、不可能です。

 

なぜならば、シュークリームは単品でもセットでも、１個あたりの金額がプリンより割安なので、金額が１００００円を下回ってしまうからです。

 

よって、２５個が正解です。

「約数の個数」「約数の和」を求める公式は、本来、高校数学で、なかなか手が回らない部分かもしれません。

 

でも、高偏差値の受験生の間では、常識となっています。

 

少しでも隙（すき）があると、致命的です。

 

高校数学の公式で、中学受験で出題されるものとしては、「等比数列の和」などもあります。

 

「等差数列の和」は誰でも知っていますが、「等比」の方は、手薄になりがちです。

 

しっかり準備しておきましょう。

 

「ユークリッドの互除法」なども、高校数学ですが、中学受験で多数出題されています。

 

これらの公式は、算数の頭が良ければ、すぐ思いつくというものではなく、知っているかどうかが、モノを言います。

 

日頃の勉強の姿勢が表れやすい部分で、そこを見られていると思われます。

 

頑張っていきましょう。