渋渋（帰国）算数　対策

渋谷教育学園渋谷中学は、首都圏屈指の難関校であり、難問出題校でもあります。

 

２０１９年度の算数も、一般入試と変わらぬ難問ぞろいとなっています。

 

特に、大問１（５）、大問２（２）（３）など、「場合の数」の分野から、難問が出題される傾向にありました。

 

いずれも、高校数学レベルです。

 

ここで勉強した内容は、高校に進学してからも役立ちます。

 

では、順に見ていきましょう。

 

大問１

 

（１）「計算問題」

 

ウオーミングアップ問題です。

 

ただし、0.625=5/8は、必修です。

 

（２）「規則性」

 

1÷27=0.037037037…

 

小数点以下は、(037)が循環します。

 

2019÷3=673より、(0+3+7)×673=6730（答え）

 

（３）「割合（食塩水問題）」

 

30÷250=0.12=12%…食塩水Bの濃さ

 

よって、食塩水Aを12%にします。

 

36÷0.12-36÷0.144=300-250=50g

（答え）

 

ここまで、渋々にしては易しい問題です。全問正解を目指しましょう。

 

（４）「平面図形（角度）」

 

点Aと点Dが重なった点をIとします。

 

折り曲げた後の角EABと、角GDCは、ともに90度であることから、

 

角EIG+角「あ」=360-90×2=180度

 

よって、角EIGを求めればよいことが、わかります。

 

三角形EIGの内角の和は、180度。

 

角GEI=180-164=16度（同位角）

 

角EIG=180-(16+40)=124

 

「あ」=180-124=56度（答え）

 

かなり歯ごたえのある問題でした。

 

（５）「場合の数」

 

まず、１つ目の条件、「選ばない数字のカードがないように」を片付けてしまいましょう。

 

150-(4+6+8+9)=123

 

よって、残りは、16枚で合計123。なるべく「9」のカードの枚数を多くします。

 

仮にすべて9だとすると、169=144。

 

144-123=21オーバーします。

 

そこで、9のカードをやめて、4や6や8のカードと交換し、合計が21減るようにします。

• 9を4にすると5減
• 9を6にすると3減
• 9を8にすると1減

「9をなるべく多くする」ということは、「なるべく交換の回数を少なくする」ということ、すなわち、「なるべく減る数の大きいものを利用する」ということです。

 

5減×4+1減×1=21減より、9を4にする操作を4回、9を8にする操作を1回すればよい。

 

このとき、４は５枚、６は１枚、８は２枚、９は１２枚（１つ目の答え）

 

5減×3+3減×2=21減より、9を4にする操作を3回、9を6にする操作を2回すればよい。

 

このとき、４は４枚、６は３枚、８は１枚、９は１２枚（２つ目の答え）

 

いずれも、９が１２枚であることを確認して終了。

 

本問は、２種類の合計がわかっているので、つるかめ算の一種です（４段つるかめ）。

 

「表で解くつるかめ算」「不定形のつるかめ算」ともよばれています。

 

つるかめ算の解法パターンを暗記しているだけだと、このような問題に太刀打ちできません。

 

つるかめ算が、どのような理屈になっているのか、意味を理解していることが重要です。

 

「仮に、すべて９だったら…」「９を４に１回交換するとどうなるか？」

 

という、論理の流れをおさえておきましょう。

 

（６）「速さと比」

 

渋男君は１時間、学君は２時間かかったので、速さの比は逆比で2:1です。

 

よって、同じ時間に進む距離も2:1です。

 

「ゴールまでの道のりが３倍の関係になったとき」を考えます。

 

渋男君の位置からゴールまでの道のりを①とします。

 

このとき、渋男君と学君の距離は②。

 

よって、渋男君のスタート地点からの距離は④。

 

スタート地点からゴールまでの道のりは⑤で、現在④まで来ています。

 

渋男君は１時間＝60分かかるところ、現在、５分の４まで来ているので、

 

60分÷5×4=48分

 

スタートから48分経過して、午前10時です。

 

スタートは午前9時12分（答え）

 

本問も、かなり骨のある問題です。

 

速さと比は頻出分野ですから、しっかり準備しましょう。

 

大問２「場合の数」

 

（１）7×6×5×4×3=2520通り（答え）

 

（２）まず、７つの数字の中から、５つを選びます。

 

その組み合わせは、「選ばない２個」を選ぶのと同じこと。

 

よって、7×6×2=21通り。

 

さて、選んだ５つの数字を大きい順に並べる方法は、１通り。

 

よって、21×1=21通り（答え）

 

（３）５つの数字を選ぶのは、（２）と同じ21通り。

 

そのうち、最も大きな数字を真ん中に置く方法は１通り。

 

さらに、残りの４つの中から、左側に置く２つを選ぶ方法は、4×3÷2=6通り。

 

それらを小さい順に並べる方法は１通り。

 

右側に残りの２つを大きい順に並べる方法も１通り。

 

要するに、７つの数字から、５つを選び、左側に置く数字２つを選べば、数字の配置は１通りに決まります。

 

21×6=126通り（答え）

 

大問３「点の移動」「角速度」「面積」

 

（１）10×2×3÷2.5=24秒（答え）

 

（２）Pが１周するのにかかる時間は、6×2×3÷2=18秒

 

よって、Pは１秒間に360÷18=20度回転します（角速度）

 

Qは360÷24=15度回転します。

 

145÷(20-15)=29秒後（答え）

 

（３）角POQが２回目に90度になるときです。

 

270÷5=54秒後（答え）

 

（４）角POQが初めて30度になるときです。

 

30÷5=6秒後（答え）

 

（４）では、３つの角が30、60、90度の直角三角形の60度をはさむ２辺の長さの比が2:1になることを、利用しています。（必修知識です）

 

大問４

（１）「三角形の相似」「回転体の体積比」

 

三角形ABCの３辺の長さの比は、3:4:5です。

 

よって、BD:DE=3:4。DF:FA=3:4。

ED=DFより、連比。

 

BE:ED=DF:FA=9:12:16

 

よって、BE=9cm、ED=DF=12cm、FA=16cm。

 

よって、２つの体積比は

 

12×12×16:12×12×9=16:9（答え）

 

（２）おうぎ形DEFの中心角は90度。

 

他方、白いおうぎ形２枚の中心角合計も、90度。

 

よって、おうぎ形DEFを、白いおうぎ形に流し込みます。（等積移動）

 

結局、求める面積は、半径12cm、中心角180度の半円１つと、三角形ADF、三角形DBEの面積の和になります。

 

12×12×3.14+12×16÷2+9×12÷2=376.08㎠（答え）

 

（３）円とGHの接点をIとします。

 

Bを通り、DIに平行な直線がGHと交わる点をJとします。

 

三角形BJHは、三角形ACB、三角形GCHと相似で、BJ：BH=4:5。

 

よって、BH=12÷4×5=15cm。

 

よって、

GH=(15+21)÷3×5=60cm（答え）

 

今回、特に難しかった問題は、大問１（５）、大問２（２）（３）、大問４（２）（３）です。

 

大問１（５）では、「９のカードの枚数をできるだけ多く選ぶ」という条件を、具体的にどのような操作に反映させればよいか？という点が、ポイントです。

 

大問２の（２）（３）は、高校数学ですが、小学生でも十分理解できる問題です。

 

選んだ５つの数を大きい順（小さい順）に並べる方法は１通りしかありません。

 

ちょっとだまされた気分、というか、とんちクイズのような感覚ですが、きちんとした算数（数学）です。

 

意外と気づかないので、覚えておくと便利です。

 

大問３は、点の動く速さを、中心角に「おきかえる」のが、ポイントです。

 

大問４（２）の等積移動も、角ADF、角BDE、それぞれ単独での大きさはわかりませんが、和が90度になることはわかる、というトリックです。

 

いずれも、算数の発想が満載で、勉強になる問題でした。

 

ここで身に着けた発想を、他の問題でも使えるように、理解しておきましょう。

 

 

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