広尾学園 算数 対策 2019年


傾向(第2回)

広尾学園2019年第2回(本科・インターSG)算数は、例年通りの出題傾向でした。

 

「平面図形」「数の性質」「場合分け問題」「規則性」などが出題されています。

 

難易度も、ほぼ例年並みか、やや易し目かな、ぐらいです。

 

定番問題の定着度を測る問題が、多数出題されています。

 

その分、合格者平均点は、高くなっています。

 

順に見ていきましょう。

 

大問1「計算問題」

 

(1)「計算の工夫」

 

一目見て、11,33,121と、11の倍数が並んでいます。

 

まず、( )の中から。なるべく、11が現れるように、式を変形します。

 

7×121+33×11=7×11×11+3×11×11=77×11+33×11=(77+33)×11=110×11

 

よって、111×11-110×11=(111-110)×11=1×11=11(答え)

 

(2)(3)普通に解きましょう。

 

(4)「特殊な2次方程式」

 

本来、中学校の数学で勉強する「展開、すなわち( )をはずすこと」というのを使うと、

 

□×□-5×5=144

 

となります。

 

□×□=169より、□=13

 

でも、中学入試問題なので、算数らしく解くと、

  1. かけて144になる、2つの整数をみつける
  2. その中で、2数の差が10のものを選ぶ

という手順になります。

  • 1×144
  • 2×72
  • 3×48
  • 4×36
  • 6×24
  • 8×18
  • 9×16
  • 12×12

このうち、差が10のものは、8×18。

 

□+5=18より、□=13(答え)

 

大問2

(1)「等差数列の和」

 

「偶数」ですから、公差2の等差数列です。

 

偶数が何個あるかというと、(100-50)÷2+1=26個です。(植木算の関係に注意しましょう)

 

よって、(50+100)×26÷2=1950(答え)

 

(2)「等積移動」

 

半円の中心を共有する、2つの合同な直角三角形をかき、重なっていない部分の面積が等しいことを、利用します。

 

結局、半径10cm、中心角120度のおうぎ形の面積kと、等しくなります。

 

定番問題です。

 

(3)「回転体の体積」

 

図形を回転すると、ABの右側部分は、左側部分と重なるので、左側部分の回転だけ考えます。

 

半径2cm、高さ3cmの円柱の体積から、半径1cm、高さ1cmの円柱の体積を引けばOKです。

 

2×2×3.14×3-1×1×3.14×1=(12-1)×3.14=34.54㎤(答え)

 

(4)「ニュートン算」

 

ポンプ1台1分でくみ出す水の量を1とします。

 

6×20=120…ポンプ6台20分でくみ出す水の量

 

9×12=108…ポンプ9台12分でくみ出す水の量

 

120-108=12…20-12=8分間にわき出た水の量

 

12÷8=1.5…1分間にわき出る水の量

 

120-1.5×20=90…もともと池に入っていた水の量

 

90÷(12-1.5)=69/7分(答え)

 

典型的なニュートン算です。

 

大問2は、すべて、有名な定番問題ばかりでした。

 

満点をめざしましょう。

 

大問3「平面図形と比」

 

(1)三角形BDEと三角形ABCの面積を比べるにあたり、辺BD、AB側を、底辺と考えます。

 

すると、三角形BDEは、底辺が4分の1、高さが2分の1になっています。

 

よって、三角形BDEの面積は、

 

24×(1/4)×(1/2)=3㎠(答え)

 

(2)三角形CDEと三角形ABCの面積を比べるにあたり、辺CE、AC側を、底辺と考えます。

 

すると、底辺が2分の1、高さが4分の3になっています。

 

よって、三角形CDEの面積は、

 

24×(1/2)×(3/4)=9㎠

 

差は9-3=6㎠(答え)

 

(3)BP:PE=三角形BCD:三角形CDE=24÷4:9=2:3(答え)

 

「平面図形と比」の、定番中の定番です。しっかり得点しましょう。

 

大問4「速さ」

 

(1)400÷(6-2)=100秒後(答え)

 

(2)(1)があまりにも易しい場合、(2)以降が大変になりがちですが、本問は、まさにその典型例です。

 

出会うたびに向きが変わる問題は、手間がかかります。

 

まず、AとBが何秒ごとに出会うのか、チェックしておきましょう。

 

400÷(6+2)=50より、2回目は1回目の50秒後。

 

よって、100秒後、150秒後、250秒後、300秒後、400秒後……です。

 

次に、AとCが1回目に出会うのは、400/7秒後。

 

単純に2倍すると、800/7秒後となり、100秒を越えるので、その間にAの向きがかわります。

 

そこで、100秒後の状況を調べます。

 

Aはスタート地点から6×100=600mの地点。(1周と200m)

 

Cはスタート地点から1×100=100mの地点。

 

ここから、AとCは、同じ向きに進むので、Aが300m遅れていると考えます。

 

300÷(6-1)=60秒後(スタートからは160秒後)に、AがCに追いつきそうです。

 

ところが、Aは150秒後にBに出会って再び向きを変えるので、そうはいきません。

 

そこで、150秒後の状況について、調べる必要があります。

 

6×50=300m

 

Aはスタート地点から200mの地点から、300m移動した結果、スタート地点から100m(Cと同じ向きに)進んでいます。

 

この時、Cはスタート地点から150mの地点にいます。(裏を返すと、スタート地点まで、あと250mです)

 

ここから100秒間は、AとCは逆向きに進みます。

 

(100+250)÷(6+1)=50秒後に、出会います。

 

150+50=200秒後(答え)

 

お疲れ様でした。

 

(3)(2)が大変だったので、(3)はもっと大変……と思ってしまいますが、気を取り直して、問題文を読むだけ読んでみましょう。

 

その際、はじめから捨てるつもりで読むと、解ける問題も解けなくなりますから、しっかり集中して読むことが大切です。

 

すると、(3)は(2)と異なる問題で、まったく別のアプローチから簡単に解けることに、気がつきます。

 

BとCは、常に一定の向きに進むので、 出会う時間も、一定の間隔になります。

 

400/3、800/3、1200/3=400

 

(2)で調べたAとBの出会いに、400秒後がありました。

 

よって、400秒後(答え)

 

大問5「数の性質」「約束記号」

 

(1)約束記号の意味を確認するための、練習です。

 

35と91の最大公約数は7。(答え)

 

(2)Cは、6との最大公約数が3となります。

 

6=2×3なので、Cに素因数としての2が含まれていてはいけません(もし含まれていると、最大公約数が6になってしまいます)。

 

3×1=3、3×3=9、3×5=15など、3の奇数倍で、50以下の整数が答えです。

 

答え、3,9,15,21,27,33,39,45

 

(3)まず、15との最大公約数が5となる整数を求めます。

 

ここでは、整数Eとしましょう。

 

Eは、50以下という条件とは無関係である点に、注意が必要です。

 

(50以下は、整数Dについての条件です)

 

15=3×5なので、5の倍数で、素因数に3を含まない整数を考えます。

 

5,10,20,25,35,40……

 

どこまでも行ってしまいます。

 

ここで、Dについて考えてみると、Dは、20との最大公約数がEとなる整数です。

 

Eは20の約数ですから、20以下です。

 

よって、Eの可能性としては、5,10,20しかありません。20で止まります。

 

E=5の場合。

 

D=5,15,25,35,45

 

E=10の場合。

 

D=10,30,50

 

E=20の場合。

 

D=20,40

 

答え、5,10,15,20,25,30,35,40,45,50

 

場合分けが多岐にわたる難問(煩問)です。手間がかかります。

 

大問6「規則性」

 

(1)「縦に4個、横に6個」ということは、4と6の最大公約数2で割って、「縦に2個、横に3個」のものを、2つつないだのと、同じことです。

 

「縦に2個、横に3個」の場合は、問題文に書いてある通り、4個です。

 

4×2=8個(答え)

 

(2)「縦にA個、横にB個」(AとBは互いに素)の場合、対角線が通る正方形の個数は、

 

A+B-1

 

です(公式)。理由は、授業で説明します。

 

A+B-1=19のとき、A+B=20です。

 

(A,B)の組み合わせは、(1,19)(3,17)(7,13)(9,11)(11,9)(13,7)(17,3)(19,1)

 

よって、並べる正方形の個数は、

  • 1×19=19個
  • 3×17=51個
  • 7×13=91個
  • 9×11=99個

(後半の4個も、積は同じ。)

 

以上は、ABが互いに素の場合。

 

ABが互いに素ではない場合、ABの最大公約数でABを割り、小さな長方形に分割し、後で、それらを、つなぎ合わせることになります。

 

19=1×19

 

よって、つなぎ合わせる場合、「縦にに1個、横に1個」の長方形(正方形)を19個つなぎ合わせるしか、ありません。

 

この場合、A=B=19

 

よって、並べる正方形の個数は、

  • 19×19=361個

以上より、並べる正方形の個数は5通り(答え)

 

難問です。

 

対策(第2回)

学校公表の受験者平均点は、100点満点で、本科68.0点、インターSG69.7点。

 

合格者平均点は、本科82.0点、インターSG84.6点。

 

かなりの高得点レースです。

 

小問単位で19問ありますから、16問できて合格者平均点、14問できて、ぎりぎり合格最低点、ぐらいのペースになります。

 

時間のかかる問題、難しい問題は、大問4(2)(3)、大問5(3)、大問6(2)です。

 

合格のためには、これらの問題以外、全問正解したいところです。

 

そのための対策です。

 

「広尾学園中学の算数」でもご説明している通り、まず、塾のテキストに出ている定番問題について、、マスターする必要があります。

 

大問1、2は、これで満点です。

 

大問3(1)、大問4(1)、大問5(1)(2)、大問6(1)も、満点です。

 

大問3(2)(3)は、多少、応用力が必要です。ここは、算数の発想法が必要になってきます。

 

これだけでも、合格できますが、もう少し余裕をもって合格したい、さらに上を目指したい、ということであれば、「場合分け」の練習が効果的です。

 

「難問」に属する問題は、「場合分け」が難しくなっています。

 

解説の場合分けが、どのような視点に基づいているか、日頃からよく観察しましょう。 

 



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