桜蔭　算数　対策　２０２０年

桜蔭・算数２０２０年は、ここ数年に比べ、やや傾向が変わりました。

 

手間をかけて調べる問題（書き出す問題）が減少し、算数的なアイデアで勝負する問題が増加しました。（特に、大問３）

 

また、

• 問題文の意味を把握するのが多少難しい問題
• 問題文を注意深く読まないと、条件ミスをする問題
• 問題を解くのに不要な条件を重ねる問題

が増えました。（大問１（３）、大問３（１）、大問４（２）②など）

 

問題文を国語的に読むと、意味がはっきりしないときには、算数の問題として成り立つような解釈、算数の問題として、良問になる解釈をする必要があります。

 

つまり、出題者の意図を読み取る力が必要です。

 

では、具体的に見ていきましょう。

 

（最後に「対策」がまとめてあります）

 

「出題分野＆難易度マップ」を掲載致します。（難易度はレッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDの順に難しくなっていきます。

 

大問１

 

（１）計算問題

 

ウオーミングアップです。

 

（２）売買算

 

形式的には売買算ですが、ポイントは、

 

「花子さんがお店で食べる分と、弟が家に持ち帰る分を交換すると、結局、２人がお店で食べたのが12個、家に持ち帰ったのが12個になる」

 

という点です。

 

両者の個数が等しいので、消費税は平均9%となります。

 

1308÷1.09÷24=50

 

答え、50円

 

（３）数の性質・規則性

 

本問を一目見て思い出すのは、桜と桜の木の間に、等しい間かくでつつじの木を植える、「植木算」ではないでしょうか。

 

ところが……

 

5m50cm、1m35cm、35cmという数字の設定だと、うまく割り切れません。

 

それどころか、柱とちょうちんの間かくは、変化するらしいということが、①の問題文（エ）からわかります。

 

ここで、いつものお約束問題とはまったく別の問題であることに気づくと同時に、新たな疑問が浮かびます。

 

「もし、ちょうちんをつるす位置が、柱と重なったら、ちょうちんをつるすのか？つるさないのか？」

 

問題文からは、明らかではありません。

 

ここで考え込むと、終わります。

 

この問題に気づかなかった人は、結果オーライで、簡単に解けます。ちょうちんをつるす位置が、柱と重なることは、実際にはないからです。

 

でも、気がついてしまった人は、悩みます。

 

どんどん書いて、調べるのか？

 

何か大変そう……

 

と思うでしょう。

 

でも、②の問題文を読むと、「柱から35cm以内の部分につるしたちょうちんは、とりはずす」とあります。

 

結局、全部チェックしなければならないのです。

 

それならば、覚悟を決めて、全部書き出してみましょう。

 

すると、柱とちょうちんの位置関係は、区間が１つ進むごとに、10cmずつずれていくという規則性に気づきます。

 

これは、550÷135=4あまり10だから、です。

 

そして、結局、柱とちょうちんは重ならないということが、確認できます。

 

本問は、柱とちょうちんの位置関係がずれるときの「規則性」に気づくかどうかで、解くスピードが変わります。

 

大問２

（１）　速さと比

 

①　コース１周14280cm、輪１周150cmより14280150=95.2回転

 

答え、95.2回転

 

②　「スタートからゴールまでの距離」を「コース１周の距離」で割ればよいのですが、手間がかかります。

 

そこで、①を利用します。

 

つまり、ゴールまで、Aさんの輪が何回転するかを求めるわけです。

 

AさんとBさんの速さの比は５：４

 

時間の比は４：５

 

差の１が40秒だから、Aさんは160秒かかりました。

 

すなわち160回転です。

 

160÷95.2=１と81/119周

 

答え、１と81/119周

 

大問２　(a)立体図形の体積、表面積

 

①②はサービス問題。③は(b)に向けての練習、という位置づけになります。

 

(b)規則性・等差数列の和

①

 

1+2+3+……+20=210

 

よって、1+2+3+……+19=190

 

答え、１９段、１０個

 

②

 

円が何個分かを計算します。

 

上から見ると、１段目は円が丸ごと１個みえますが、２段目以降は、１段あたり2/3が２つ分ずつ見えます。

 

1+(2/3)×2×(19-1)=25個

 

机にふれているのは、19段目の19個

 

3×3×3.14×(25+19)=1243.44

 

答え、1243.44㎠

 

大問３　立体図形

 

（１）問題文中に、「三角形ADMを拡大すると、三角形GCBにぴったり重なります。」とあります。

 

ここから、２つの三角形は、相似（ただし、合同ではない）ということが、わかります。

 

三角形GCBの直角をはさむ２辺の長さの比は、３：４になります。

 

BC：CG＝４：３では、三角形ADMと合同になってしまいますから、BC：CG＝３：４です。

 

問題文中にも、「三角形GCBの一番短い辺はBCです」と書いてあるので、確認できますが、逆にいうと、この条件は無くても、結論に影響はありません。

 

GC＝4÷3×4＝16/3cm（ア）

 

BG＝4÷3×5＝20/3cm（イ）

 

（２）立体ALBNの形がイメージしにくいかもしれません。

 

頂点が４つあるので、三角すいです。

 

４つの面のいずれかを底面と考えると、

 

底面積、求められるかな？

 

高さ、求められるかな？

 

という心配が出てきます。

 

大体、斜めの面に基づいて、高さの計算を試みると、三平方の定理（ピタゴラスの定理）というのが登場して、ルート（√）の計算という、中学生チックなワザが出てきてしまいます。（なるべく避けたいところです）

 

せっかく直方体に囲まれた図形なのですから、直方体の各面に対して、「平行」もしくは「垂直」に切って、補助線ならぬ「補助面」を作り、計算しましょう。

 

辺ABの真ん中の点をOとします。

 

三角形OLMを底面、高さ合計をABとみて、立体ALBNの体積を求めます。

 

ML＝16/3-3=7/3cm

OM=4cm

 

三角形OLM＝7/3×4÷2=14/3㎠

 

立体ALBN＝14/3×6÷3=28/3㎤

 

答え、28/3㎤

 

 

（３）

①ON＝BG＝20/3cm

 

よって、ANB＝AB×ON÷２＝6×20/3÷2＝20㎠

 

答え、20㎠

 

②

三角形ALNの底辺をLNとみたとき、高さは、Aから底辺LN（の延長）に垂直におろした垂線AMとなります。

 

よって、高さは5cm

 

三角形BLNについても、同じ。

 

よって、三角形ALN＝三角形BLN＝7/3×5÷2＝35/6㎠

 

また、三角形OMLは、直角をはさむ２辺が、ML＝3cm、OM＝4cmであるから、三角形ADMと合同。よって、OL＝5cm

 

よって、三角形ALB＝6×5÷2＝15㎠

 

よって、表面積は

 

20＋35/6＋35/6＋15＝46と2/3㎠

 

答え、46と2/3㎠

 

大問４

 

（１）数の性質

 

４の倍数も、３で割って１余る数も、等差数列になります。

 

前者の公差は４、後者は３です。

 

よって、４の倍数のうち、３で割って１余る数は、公差が１２（４と３の最小公倍数）の等差数列になります。

 

初めの１個は根性で書き出して見つけ、そこからは、１２ずつ大きくしていけばよいわけです。

 

10g➡4,8,12,16,20,24……

 

20g➡1,4,7,10,13,16,19……

 

60g➡4,16,28,40,52……

 

さて、今度は、５で約分できる数、すなわち、５の倍数をさがします。

 

60gの方は、１つ目が40

 

20gの方は、１つ目が10

 

２つ目以降は、60gの方が、12と5の最小公倍数60ずつ大きくなります（100しかありません）

 

20gの方は、3と5の最小公倍数15ずつ大きくなります。

 

10,25,40,55,70,85,100

 

「１未満」という条件に注意して合計を求めます。

 

(10+25)/40=7/8

 

(10+25+40+55+70+85)/100=57/20

 

7/8+57/20=3と29/40

 

答え、3と29/40

 

（２）

①３段つるかめ

 

10gの球をx個、20gの球をy個、60gの球をz個、選ぶとします。

 

すべての球が10gずつ軽くなったとすると、13個で130g軽くなり、合計は250-130=120gになります。

 

(20-10)×y+(60-10)×z=120

 

10×y+50×z=120

 

(y,z)=(2,2)(7,1)(12,0)

 

xも含めて、合計13個だから

 

答え、(9,2,2)(5,7,1)(1,12,0)

 

②剰余系

 

60gの球の個数が2番目に多い選び方は、(5,7,1)です。

 

10gと60gの球に書かれている数は４の倍数なので、４で割ると余りは０。

 

つまり、自由に選べます。

 

それならば、大きい方から順に選びましょう。

 

10g➡100+96+92+88+84=460

 

60g➡100

 

さて、20gの球に書かれている数は、3で割ると1余る数です。

 

これを4で割ると、余りは0,1,2,3に分かれます。

 

これらの数を足して、4で割ると余りが2になるようにすればよいわけです。

 

このとき、余りの合計も4で割ると2あまります。（2,6,10,14など）

 

なるべく大きい数から選ぶので、

 

100+97+94+91+88+85+79=634

 

以上を合計すると、

 

460+100+634=1194

 

答え、1194

 

では、どのように準備すれば、２０２０年・桜蔭中に合格できたのでしょうか？

 

また、その中から、２０２１年度以降に役立つ対策を抽出すると、どうなるでしょうか？

 

ごいっしょに考えてみましょう。

 

１、算数的なアイデアについて

 

大問３の立体図形は、立体（３次元）を平面（２次元）化して考える、という発想に基づいています。（次元を下げる）

 

本問は、直方体の内部が斜めに仕切られて、図形をイメージするのが難しくなっています。

 

でも、直方体を右横から見た場合、三角形ABNと線分BGは重なって見えます。

 

あるいは、正面から見ると、三角形ALNは線分AMと重なって見えます。

 

つまり、「投影図」を考えればよいのです。

 

そうすることで、複雑なルートの計算をすることなく、中学受験・算数的な方法で処理することが可能になっています。

 

２、手間のかかる問題について

 

２０２０年桜蔭は、単純に手間をかけるしかない問題が減少しました。

 

そして、一見手間がかかりそうで、工夫の余地のある問題が出題されています。

 

たとえば、大問４（２）②では、「４で割ったときの余り」だけわかればよいので、余りだけ足していくという「効率化」が可能です。

 

３、問題相互の関連性について

 

大問１（３）のちょうちんをつるす位置が、10cmずつずれていくことと、大問４（２）②の４で割った余りが１ずつずれていくのは、同じ現象です。

 

桜蔭の受験生であれば、ふだんから、このような現象に気づいている人が多いと思いますが、初体験でも、大問１をヒントに大問４を効率化することができたでしょう。

 

「同一年度の大問相互の関連性」は、桜蔭・国語で顕著ですが（説明文と物語文のテーマがリンクしている）、２０２０年度の算数でも見られます。

 

さらには、大問１（３）、大問２（２）、大問４いずれも、「等差数列」関係の出題です。

 

このあたりを、しっかりおさえておきましょう。

 

４、問題文の意味がとりにくい時の対処法

 

大問１のちょうちん問題については、該当箇所で説明しましたが、他にも、大問４（２）②は、意味が取りづらい問題です。

 

「60gの球の個数が２番目に多い」という部分です。

 

通常、３段つるかめで、個数の多い、少ないを問題にするときは、他の球と比べます。

 

「60gの球の個数が、10gや20gの球の個数に比べて、２番目に多い」

 

という意味のことが多いのです。

 

ところが、本問では、このような意味にとると、(9,2,2)の場合になってしまいます。

 

「同点２位」

 

ですね。

 

たった３種類の球しかないのに、「同点２位」はないでしょう……

 

というわけで、「60gの球の個数として考えられる２個、１個、０個」の中で、２番目という意味なのだろう、と推測できます。

 

さらに、(9,2,2)の場合だとすると、問題があまりに易しすぎる、ということもあります。

 

桜蔭２０２０年の最後を飾る問題が、こんなに簡単すぎてよいのか？

 

ほどほどに難しいはずではないか？

 

と考えるべきです。

 

問題文の意味が取りにくい時は、「なるべく算数の問題として充実するように」解釈しましょう。

 

出題者の気持ちになって読む、解く、ということが大切です。