芝 算数 対策 2019年


傾向(第1回)

芝中2019年(第1回)算数は、例年通りの出題傾向、難易度でした。

 

手に負えない「超難問」は出題されない一方で、ただ点数に下駄をはかせるだけの、易しすぎる問題も、出題されていません。

 

理論的に易しく、手間がかかるだけに見える問題は、工夫によって簡単な解き方ができるよう、配慮が行き届いています。

 

バランスのとれた、芝中らしい出題でした。

 

順に見ていきましょう。

 

大問1「計算問題」

 

大問2「差集め算」

 

はじめ、「男の子に9冊、女の子に7冊」配っておきます。4冊あまっています。

 

全員に「1人8冊ずつ」にするため、男の子から女の子に1冊ずつ渡します。

 

すると、男の子全員が渡し終わっても、まだ、7冊しか持っていない女の子が何人かいます。

 

女の子の方が、人数が多いことがわかります。

 

何人多いのでしょうか?

 

あまっている4冊を1人1冊ずつ、4人に渡しても、まだ7冊しかもらっていない女の子が5人います。なぜならば、5冊足りないからです。

 

女の子は、男の子より、4+5=9人多いことが、わかりました。

 

17+9=26人(答え)

 

大問3「循環小数」「規則性」

 

59を1111で割ると、0.05310531……がくり返されます。(周期4けた)

 

(1)小数第6位は、5(答え)

 

(2)2019÷4のあまりは、19÷4のあまりと同じで、3。周期の3番目の数字は3(答え)

芝中に強い家庭教師からの、ワンポイント・アドバイス

 59÷1111の筆算は、かなり手間です。

 

それよりも、1÷9999=0.00010001…を利用しましょう。

 

59÷1111=(59×9)÷(1111×9)=531÷9999=0.05310531……

 

結局、59×9=531を計算しただけです。

 

大問4「場合の数」「数の性質」

 

(1)「偶数+偶数=偶数」「偶数+奇数=奇数」を利用します。

 

3つの偶数を2つずつ足す方法は、3通りあり、64、54、46がそれにあたります。

 

仮に、3つの偶数をP、Q、Rとしましょう。

 

「P+Q=64」「Q+R=54」「R+P=46」になります。

 

すべてを足すと、P、Q、Rを2回ずつ足したことになり、その和は164。

 

1回ずつ足すと82(答え)

 

(2)4つの整数を大きい順に、A、B、C、Dとします。(1)のP、Q、Rとは、関係ありません。設定し直しです。

 

A-Dを求めればよいわけです。

 

和の最大はA+Bで64。最小はC+Dで39。小さい方から2番目はB+Dで46。

 

(A-D)=(A+B)-(B+D)=64-46=18(答え)

 

大問5「平面図形(角度)」

 

錯角相等しいので、角EDB=角ABD=62度。

 

角ADC=角ADE=ア+62度。

 

角BDC(180度)=ア×2+62度より、ア=59度(答え)

 

大問6「平面図形(面積)」

 

正六角形を小さな正三角形に6等分して、その一つ一つをさらに小さな正三角形に4等分します。

 

この一番小さい正三角形を「小」と呼ぶことにします。

 

(1)三角形ABCは「小」9個分です。「小」1個の面積は、

 

96÷(6×4)=4㎠。

 

よって、4×9=36㎠。(答え)

 

(2)影をつけた部分の面積は、三角形ABCの面積から、かどの3つの白い三角形の面積を引いて、求めます。

 

かどの白い三角形は、「小」を真っ二つにした一つ分なので、2㎠。

 

よって、36ー2×3=30㎠。(答え)

 

大問7「割合(食塩水)」

 

最終的に、容器A、Bの食塩水の濃度の比は、9:8になっています。

 

よって、それぞれに含まれる食塩の重さの比は、800×9:600×8=3:2。

 

ところで、全体の食塩の重さは6×8+12×6=120g。

 

これを3:2に比例配分すると、Aの容器の食塩水には、120÷(3+2)×3=72gの食塩が含まれています。

 

72÷800=0.09。

 

よって、容器Aの食塩水の濃さは、9%になりました。

 

6%の食塩水と、12%の食塩水を混ぜて、9%の食塩水にするには、配分は1:1。

 

よって、800÷2=400g(答え)

 

大問8「規則性」

 

色は4色。列は7列。よって、周期は4×7=28となります。

 

28まで、すなわち、4行分、表をかけば、あとは同じ位置に、同じことが、「プラス28」の大きさで起きます。

 

(2)では、1列目と5列目、2列目と6列目、3列目と7列目がペアで足される一方、4列目の数は8列目がないため、残るということが、わかります。

 

全体の和から、4列目(初項4、公差7の等差数列)の和を引くことになります。

 

大問9「注水グラフ」

 

グラフの高さが、初め0cmになっています。これは、容器Aも容器Bも、初めは空っぽだったことを示しています。

 

さて、容器Aと容器Bの高さの比は5:6。容器Aは排水口により、3等分されるので、3の倍数に設定しておきましょう。

 

Aの高さ15。Bの高さ18。排水口の高さ10。

 

また、容器Aと容器Bの底面の半径の比は1:2。よって、底面積の比は1:4。

 

よって、容器Aの底面積を1とすると、容器BのA部分を除く底面積は3。

 

以上で、設定終了です。

 

容器Aを満水にするのに11分かかったので、容器Bの排水口以下には22分かかります。Cまでの残りは、本来なら11分ですが、水量が半分になるので、22分かかります。

 

よって11+22+22=55(Cの答え)

 

CD間は、本来排水口がなければ11×4÷5=8.8分かかりますが、排水口で水量が半分になっているので、2倍の17.6分かかります。

 

55+17.6=72.6(Dの答え)

 

対策(第1回)

100点満点で、学校公表の受験者平均点は53.8点。合格者平均点は68.0点です。

 

小問単位で14問ありますから、おおざっぱに言って、10問解ければ、合格者平均点を上回ります。

 

難問は、大問4、大問6(2)、大問8(2)、大問9あたりでしょうか。

 

難しさの感じ方が分かれそうな問題が多かったようです。

 

人それぞれ、文章題(代数)、図形(幾何)で、得意不得意があります。

 

対策としては、自分の得意な分野は、多少、難し目の問題にも取り組み、苦手な分野は、定番問題について、しっかり押さえる、という勉強が、有効です。



傾向(第2回)

芝中2019年第2回算数は、例年通りの出題傾向、難易度でした。

 

大問3、大問4、大問7(1)と、「場合の数」の出題が多かったのと、「グラフ読み取り」が出題されなかった点が特徴的ですが、それ以外は、「平面図形」「立体図形」「速さ」など、オーソドックスな出題です。

 

計算問題では、計算力をしっかり試し、応用問題中の計算は、それほど煩雑ではないのも、例年通りです。

 

順に見ていきましょう。

 

大問1「計算問題」

 

0.875=7/8、0.375=3/8、0.625=5/8など、分母が8の分数を小数に直したときの小数点以下は、必修です。

 

大問2「消去算」

 

まず、かごを除いた代金について、整理します。

  • か1り1な1=260円…①
  • か4り2な1=710円…②
  • か1り3=390円…③

芝中に強い家庭教師が、コツを伝授!

さて、ここで、①~③を見比べましょう。

 

①②には、柿、りんご、なしが含まれていますが、③には、柿、りんごしかありません。

 

そこで、①と②を組み合わせて、なしを消去すれば、柿とりんごに関する式が、2本できます。(あなたの解き慣れた消去算、倍数算になるはずです)

 

②-①=か3り1=450円…④

 

③+④=か4り4=840円

か1+り1=(390+450)÷4=210円

 

210+90=300円(答え)

 

大問3「場合の数」「数の性質」

 

(1)偶数は、一の位が偶数。本問では0,2,4です。

 

この3つの数のうち、0だけは、百の位に使うことができません。

 

なぜならば、百の位を0にすると、「3けたの整数」にならないからです。

 

そこで、一の位が0の場合と、2,4の場合とで、場合分けとなります。

 

一の位が0の場合。

 

百の位は1,2,3,4,5の5通り。

 

十の位は、残りの4通り。

 

よって、5×4=20通り。

 

一の位が2の場合。

 

百の位は1,3,4,5の4通り。

 

十の位は、残りの3通りプラス、復活した0の4通り。

 

よって、4×4=16通り。

 

一の位が4の場合は、2の場合と同じく16通り。

 

よって、20+16×2=52通り(答え)52個

 

(2)3の倍数の性質は、各位の数の和が3の倍数。

 

よって、まず、和が3の倍数になる組み合わせを書き出します。

 

(012)(015)(024)(045)(123)(135)(234)(345)です。

 

次に、この3つの数字を、百の位、十の位、一の位に割り当てる方法が何通りあるかを、数えます。

 

0が含まれていると、百の位に0が使えないので、4通りしかできません。

 

0が含まれていなければ、6通りできます。

 

4×4+6×4=40通り。

 

(答え)40個

 

定番問題です。

 

大問4「場合の数」

 

□に数字を入れる方法は5×4×3=60通りあります。

 

ところが、四捨五入すると等しくなるものが多数あるため、答えは60通りではありません。

 

どのくらいかぶるのか…?と考えていくと、気が遠くなります。

 

そこで、小数第1位は後で考えることにして、とりあえず、整数部分だけ書き出してしまいましょう。

 

これなら、5×4=20通りですから、許容範囲内です。

 

12・13・14・15・21・23・24・25・31・32・34・35・41・42・43・45・51・52・53・54

 

さて、これらの整数の小数部分に1,2,3,4が来たとしても、四捨五入すると、整数部分に変化はありません。

 

よって、その場合に、追加はナシです。

 

小数部分に5が来ると、四捨五入の結果、1大きい整数になります。

 

そこで、追加の可能性が出てきます。

 

でも、整数部分に5が使われていると、小数部分に5は使えない、という制約があります。

 

さらに、せっかく1大きくなっても、その整数が、すでに上記の整数に含まれている場合には、追加はナシです。

 

以上の2点に注意しながら、追加分をチェックすると、21.5→22、32.5→33、43.5→44の3つが追加となります。

 

20+3=23通り(答え)

 

大問5「平面図形」

 

四角形EBFQの面積と、三角形RFCの面積をイキナリ比べるのは、ムリです。四角形EBFQは、台形ではありません。

 

でも、四角形EBFQに三角形AEQをつけ加えて、三角形ABFにすると、三角形RFCと面積を比べやすくなります。

 

そこで、三角形AEQの面積が、三角形ABFの面積の何倍かを、調べてみましょう。

 

(AE/AB)×(AQ/AC)=(3/8)×(2/4)=3/16

 

よって、三角形ABFの面積を⑯とすると、三角形AEQの面積は③、四角形EBFQの面積は⑯-③=⑬となります。

 

⑬=26なので、③=6

 

よって、三角形ABF:三角形RFC=(26+6):21=32:21

 

面積比=32:21、高さ比=4:3

 

よって、底辺比=32÷4:21÷3=8:7

 

4cm÷8×7=3.5cm(答え)

 

大問6「平面図形」「規則性」

 

輪の外側を1周することを考えます。

 

1回曲がるたびに、180-(90+70)=20度、向きが変わります。

 

1周する間に、360÷20=18回向きが変わります。

 

よって、正方形は18個。

 

二等辺三角形は18÷2=9個

 

(答え)18、9

 

注意:

 

1回につき20度ずつ、合計18回向きが変われば、元と同じ向きになるのはわかるけれど、ズレて輪にならない可能性はないのでしょうか?

 

何か、だまされた感じがする。考え出すと、夜も眠れない…

 

このような疑問を持ったあなた。優秀です。

 

ヒントは、正九角形を9等分する、合同な二等辺三角形9個にあります。

 

二等辺三角形は「合同」なので、となり合う辺の長さは同じ。過不足なく、常にピッタリ重なります。

 

よって、ズレて輪にならないという心配はありません。

 

大問7「立体図形」

 

(1)授業で説明します。

 

(2)1辺の長さがABの2分の1である正三角形を、Xとします。

 

3点A,B,Cを選んでできる切り口は、正三角形で、相似比はXの2倍。よって、面積比は4倍。

 

3点DEFを選んでできる切り口は、正六角形で、Xをちょうど6個、しきつめることができます。

 

よって、4:6=2:3(答え)

 

大問8「速さと比」「規則性」

 

(1)

(AB)(AB)…(AB)A10分=10km

(BA)(BA)…(BA)B10分+A2分=10km

 

よって、B10分=A8分

 

Aの速さ:Bの速さ=5:4

 

よって、6÷5×4=4.8km/時(答え)

 

(2)

A10分で、1km進む。B10分で0.8km進む。

 

10÷(1+0.8)=5あまり1

 

20分×5+10分+2分=112分=1時間52分(答え)

 

大問9「体積」「比」

 

(1)

 

容器Aの底面積を2、容器Bの底面積を7とする。

 

容器Aの高さを4、容器Bの高さを3とする。

 

もともと容器Bに入っていた水の体積は、(7-2)×1=5。

 

ここに、容器Aから2×4÷2=4の水が入ってくる。

 

(5+4)÷5=1.8…容器Bの水の深さ

 

1.8÷3=0.6(答え)

 

(2)

 

容器AからBに入ってくる水の体積は、容器Aを4等分した円柱の半分。すなわち、8÷4÷2=1

 

(5+1)÷5=1.2…容器Bの水の深さ

 

これが10.5cmだから、容器Aの高さは

 

10.5÷1.2×4=35cm(答え)

 

対策(第2回)

学校公表の受験者平均点は50.4点。合格者平均点は69.7点。

 

大きな差がついています。

 

やはり、芝中合格は、算数が決めてです。

 

さて、今回難しかった問題は、大問4、大問7、大問8(1)(2)です。

 

この4問以外が満点だと、ほぼ合格者平均点です。

 

対策について。

 

1、芝中第2回は、例年「場合の数」が出題されており、この分野を克服することが重要になってきます。

 

たとえば、大問3(2)。「3の倍数の性質」については、多くの受験生がよく知っています。

 

「各位の数の和が3の倍数」ですね。

 

でも、大問3のように、「0、1、2、3、4、5」の中から、3つの和が3の倍数になるような数の組み合わせを、すべて選び出す問題となると、ハードルが上がります。

 

思いつくままに書き出していては、モレや重複が出てしまいます。

 

どのような手順で書き出すのがよいか?

 

自分なりの方法を確立しておきましょう。

 

2、「平面図形」も頻出です。ここも、トレーニングで克服できる分野なので、重要です。

 

たとえば、大問5。公式が使えない「変な形」の四角形の面積が、条件となっています。

 

このような「変な形」の面積が関連してくる場合、対処の仕方には、いくつかのパターンがあります。

 

ここも、自分なりの方法を確立しておきましょう。

 



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