開成　算数　対策　２０１９年

（１）入試結果

 

２０１９年の開成算数は、予想通り難化しました。

 

もっとも、これは２０１８年と比較して、という意味です。

 

２０１８年は、実験的な出題だったわけで、２０１９年が本来の開成算数です。

 

受験者平均点、合格者平均点は以下の通りです。

 

（開成中学ホームページより引用・算数85点満点） 

 

（２）出題分野

 

「速さと比」「立体切断」「場合の数」「論理パズル」から出題されています。

 

「平面図形」は単独での出題はありませんが、「立体切断」（大問２）の小問で、実質的に出題されています。

 

（３）難易度

 

２０１８年より難化したとはいえ、数年間を通してみれば、開成としては標準的か、やや易し目の出題だったといえます。

 

ただし、大問４「論理パズル」の（２）は、かなりの難問です。

 

また、大問１「速さと比」は、理論的には易しいとはいえ、計算がラクではありません。

 

中途半端な分数に煩わされ、ミスしやすくなっています。

 

大問３「場合の数」も、理論的には易しいのですが、特に立体の方は、目がチラチラして、ミスしやすくなっています。

 

ミスとの戦いも、ある種の難しさと言えます。

 

 

「出題分野＆難易度マップ」を掲載します。（難易度はレッツ算数教室の分析によります）

 

Aが最も易しく、BCDEの順に難しくなっていきます。

 

 

レベルEF（ピンク色の部分）以外が満点ならば、ほぼ合格者平均点です。

 

それでは、順に見ていきましょう。

大問１「速さと比」

 

開成受験生にとっては、易しい問題です。これを落とすと、合格は難しいでしょう。

 

途中、計算が煩雑になり、ハラハラする場面もありますが、きれいに約分されます。

大問２「立体切断」

 

開成でこれが出題されないと、開成の問題を解いている気がしないほど、典型的な開成の立体切断です。

 

切り口を投影図に書き直すのが、ポイントです。

 

このアイデアは、開成平成１５年（２００３年）大問１と同じであり、検討していた受験生にとっては、小問１は、易しかったでしょう。

 

（２）は、これだけでは、解けないかもしれません。差がついた問題です。

 

「過去問は２年分やれば十分」というアドバイスをしている大手塾もあるようですが、やはり、古い過去問も重要です。

大問３「場合の数」

 

（１）は、開成受験生にとっては、易しい問題です。

 

問題は、（２）。やり方はすぐ思いつくでしょう。ただし、場合分けが多く、手間がかかります。

 

「時間をかければ、確実に得点できるが、時間がかかる」という問題です。

 

これを解きにかかるかどうか？判断に迷うところでしょう。他の問題の状況と照らし合わせながら、現場で決めることになります。

 

これも、差のつく問題。合否を分けた問題です。

大問４「論理パズル」

 

（１）は、指定されたルールを確認するための、練習問題であるとともに、（２）(ｂ)の重要なヒントが隠されています。いかにも開成です。

 

（２）の枠で囲った部分。「（ケ）に３がないと仮定する。」「話が合わない」「（ケ）に３がないと仮定したのは誤りで、実際は、（ケ）には３がある。」という流れは、「背理法」といい、中学の数学で勉強しますが、小学生も当然のこととして、わかっている人は使っています。

 

算数の発想法として、とても重要なので、開成受験生以外も、身につけるべきです。勉強になります。

 

さて、この背理法を知っていたとしても、本問は難問です。

 

（１）は練習なので、（２）を解くにあたっての核心部分について、ご説明します。

 

「ハートは奇数」「スペードは偶数」になっています。

 

「２枚ともハート」「２枚ともスペード」になった人は、席を立ちます。

 

要するに、奇数がそろうか、偶数がそろうと負け、というルールです。

 

ここで、「１回目でだれも負けていない」ということが、何を意味しているか、考えてみましょう。

 

仮に、だれかが偶数をわたしたとします。

 

すると、偶数を受け取った人が負けていないということは、この人も偶数をわたしていた、ということになります。

 

その次の人も、偶数を受け取ったのに負けていないということは、自分も偶数をわたしていた、ということになります。

 

以下同様。

 

全員が偶数をわたし、偶数を受け取ったことになります。

 

では、仮にだれかが奇数をわたしたとします。

 

すると、奇数を受け取った人が負けていないということは、この人も奇数をわたしていた、ということになります。

 

以下同様。

 

全員が奇数をわたし、奇数を受け取っていたことになります。

 

つまり、

• 奇数が止まったまま、偶数だけがぐるりと動いたか、
• 偶数が止まったまま、奇数だけがぐるりと動いたか、

どちらかになります。

 

ここで、T（１０）は、必ず動くことを考えると、奇数が止まったまま、偶数だけが動いたということが、わかります。

 

さて、次は「９」について考えてみましょう。

 

９は止まっていなければなりませんが、９を止められるのは１０だけです。

 

ここから、９と１０は同じ人が持っていたということが、わかりました。

 

そこで、今度は９と１０以外の数、すなわち、１～８について考えてみます。

 

今度は８が最大なので、必ず動きます。

 

７を止められるのは８だけです。

 

ということは、７と８は同じ人が持っていたということが、わかりました。

 

以下同様。

 

結局、（１０、９）（８、７）（６、５）（４、３）（２、１）がペアであり、（エ）が（３４）であることが、わかりました。

 

他にも

• 「Dには２は回ってこない。なぜならば、３が出ていってしまうから→（ウ）は（１２）ではない」

など、色々わかってきます。

 

ここまでわかれば、この難問も、普通の論理問題になります。

例外的に易しかった２０１８年はともかく、従来の開成算数に戻った２０１９年は、算数で７割ちょっと取れれば、何とか勝負できます。学校公表の合格者平均点でさえ、７６％程度です。

 

では、どの問題で取るか？どの問題は落としても大丈夫か？

 

おそらく、多くの合格者は大問４の小問（２）abc以外は、ほぼ満点に近かったのではないかと、推測します。

 

制限時間が迫る中、大問３の（２）を確実にコツコツ解くか？大問４の（２）を討ち死に覚悟で必死に考えるか？

 

究極の選択を迫られたことでしょう。

 

でも、本番の緊張している中、大問４を考えても、頭が空回りして、あっという間に時間が過ぎてしまう人が多いはずです。

 

手間はかかっても、大問３をコツコツ解く方が、確実に得点でき、合格したと推測します。

 

ただし、これは本番での対策、合格戦略です。

 

これから開成を受験する人は、大問４をじっくり解き、思考力をつけておきましょう。

 

大問４がすごいのは、頭さえ良ければ、小学校１年生でも解ける点です。

 

たし算、引き算さえ使いません。

 

知識としては、数字の大小関係しか、必要ありません。（２は１より大きい、など）

 

それでいて、これだけの難問を出題しているわけです。

 

塾のテキストで、定番問題を解く勉強は、このような問題を解くにあたって、ほぼ無力です。

 

初見のルールのもとで、どのような規則性が生じるのかを見抜く勉強が、有効です。

 

そのためには、時間に余裕のあるうちから、開成の過去問などで、ルール指定のパズル問題を「自分の頭で」考えるトレーニングを積みましょう。質問して、解法を教わっても、この手の問題に強くなれません。

 

ただし、これはあくまで、事前の心がけであり、解けるようになればベストという意味です。

 

現実問題として、このレベルの問題は、本番で解けなくても、おそらく合格はできます。

 

気楽に楽しみながら、取り組みましょう。

 

 

さて、一般的には解けなくても合格できる大問４「論理パズル」ですが、

 

「どうしても解けるようになりたい！算数が命。」

 

「国語や社会はどうにも苦手だから、算数で大量点を取る必要がある」

 

という方もいらっしゃるでしょう。

 

そのような方のために、一言アドバイスがあります。

 

大問４で、「１回目でだれも負けていない」ということが、何を意味しているかについて、考えました。

 

その際、「１０が必ず動く」という点に注目しました。

 

なぜ１０に注目したかというと、「極端な場合を考える」という算数の発想法を使ったのです。

 

定番問題から大きくかけ離れている問題でも、算数の問題に違いはありません。

 

そうであるならば、算数の発想法が、解法のカギになるはずです。

 

レッツ算数教室では、当ホームページ内

 

「算数の成績を上げるには？」（タップ・クリックできます）

 

の中で、算数の発想法について、さらにくわしくご説明しています。