プロ家庭教師による「計算の工夫」第３回。

 

今回は、前回（２）の続きとなります。

 

前回は、「2020を3で割ったときのあまり」について、

 

(2+0+2+0)÷3=1あまり1

 

よって、2020÷3も、「あまり1」としました。

 

今回は、なぜ、このようなことが言えるのか？そのメカニズムについて、ご説明します。

 

今、４ケタの整数ABCDがあるとします。

 

これは、

• Aが1000個
• Bが100個
• Cが10個
• Dが1個

あることを、表しています。（10進法だから）

 

これらを、２つのグループに分けます。

 

１つ目のグループは、

• Aが999個
• Bが99個
• Cが9個

です。

 

２つ目のグループは、

• Aが1個
• Bが1個
• Cが1個
• Dが1個

です。つまり、「A+B+C+D」です。（これを、「各位の数字の和」と呼びましょう）

 

１つ目のグループは、３で割ると、

• Aが333個
• Bが33個
• Cが3個

になり、割り切れます。この部分を３で割ったときのあまりは、ゼロです。

 

そこで、

 

４ケタの整数ABCDを３で割ったときのあまりは、「各位の数字の和」A+B+C+Dを３で割ったときのあまりと、一致する

 

ということがわかります。

 

最も有名なのは、

 

ある整数の各位の数字の和が３の倍数ならば、その整数は３の倍数である

 

という、「３の倍数の性質」でしょう。

 

これは、A+B+C+Dを３で割ったときのあまりが「ゼロ」という、特殊な場合について言っているわけです。

 

より一般的に、あまりが「１」の場合、あまりが「２」の場合にも、同じことが言えます。

 

「ある整数の各位の数字の和が３の倍数なら、その整数は３の倍数」

 

という部分だけを暗記している人は、非常に多いのですが、理由をきちんと説明できる人は、少数です。

 

暗記だけでは、応用動作はできませんが、理由まで理解していれば、自分でどんどん論理展開していけます。

 

では、ある整数を９で割ったときのあまりは、どうなりますか？

 

先ほどの、２つのグループに分ける方法を使って、自分で考えてみましょう。