計算の工夫(2)


計算の工夫(2)


暑い日が続きますが、いかがお過ごしでしょうか?

 

今日も、プロ家庭教師が、必殺技を伝授します。

 

さて、計算の工夫、第2弾!

 

本日のお題は、これ。

 

235÷999の、小数第2020位の数を求めなさい。

 

「ははあ、商が、同じ数列のくり返しになるから、周期を求めればいいんだな」

 

と思ったあなた。

 

その通りです。でも、その数列を求めるのが大変。

 

一体、999の割り算を、何回やるはめになるのか……

 

そこで、計算の工夫をしてみましょう。

 

まず、1÷999は、いくつになるでしょうか?

 

1=0.999999999999……無限循環

 

3ケタずつに区切ると、

 

1=0.(999)(999)(999)……

 

よって、

 

1÷999=0.(001)(001)(001)……

 

です。

 

235÷999は、この235倍なので、

 

0.(235)(235)(235)(235)……

 

周期が3の無限循環になります。

 

2020を3で割ったときのあまりは、各位の数の和を3で割ったときのあまりと、一致するから、

 

(2+0+2+0)÷3=1あまり1

 

小数第2020位の数は、周期の1番目の数であると、わかりました。

 

答え、2

 

結局、本問を解くのに必要な計算は、

 

(2+0+2+0)÷3=1あまり1

 

だけです。

 

では、この解法を、もう少し一般化してみましょう。

  • A÷9=0.AAAAA……
  • AB÷99=0.ABABAB……
  • ABC÷999=0.ABCABCABC…
  • AB÷999=0.0AB0AB0AB……

以下、同様。

 

ためしに、いくつか練習してみましょう。

 

問題

  • (1)73÷99=
  • (2)843÷999=
  • (3)37÷9999=

答え

  • (1)0.73737373……
  • (2)0.843843843……
  • (3)0.00370037……

ところで、一か所、説明不足のところがありました。

 

「ある数Aを3で割ったときのあまりは、ある数Aの各位の数の和を3で割ったときのあまりと、一致する」

 

という部分です。

 

次回、計算の工夫(3)では、この問題を取り上げます。

 



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